[o t ] Der Eulersche Dilogarithmus. 177 



(10) ® (1) S n (x) = S n (x) - { - { ^i\y* • lOg— ' *, 



die ja derjenigen für den Dilogarithmus gefundenen sehr ähnlich ist. 



Die drei Funktionenwerte 3(1) S„ tß («), ®(°c) S„ tP (x) und S(°°) S n<p (x) 

 können nun auch ohne Mühe gebildet werden. 



Aus diesen Umlaufsrelationen leiten wir unmittelbar den Satz ab: 



Die Funktion S n<p (x) ist als Hauptwert einer Funktion 

 anzusehen, deren andere Zweige allgemein auch in x = eine 

 singulare Stelle haben. 



In unseren folgenden Untersuchungen betrachten wir ausschliefslich 

 diesen Hauptwert; aus (8) findet man dann unmittelbar den folgenden Satz: 



Es ist immer 



(11) lim S„ tP (1 + x) = Sn, P , 



1*1 = o 



in welcher Weise man auch x der Null zustreben läfst, wenn 

 dieser Punkt nur nicht umgekreist wird. 



Um unsere Funktion S np (x) in der ganzen x- Ebene zu kennen, 

 haben wir nur noch das Verhalten dieser Funktion für überaus grofse Werte 

 von x zu untersuchen. Zu diesem Zwecke gehen wir von der offenbaren 

 Identität 



l *-[log(l+'i)+log*V 

 aus; da nun weiter 



/log-*: 



-iy.pl J 



log»- 3 .* log* (1. + ^ 



sein mufs, so ergibt sich aus (12) unter Anwendung der Binomialformel 



/ S y£^ (n + s — 1\ „ /1\ log"+-Pa; \ 



(13) M n , p (x) = (-1)" ( ^ ( + s ) *«-.i~ (-) - (w _i ) f 1>!(w + 1>) J + C -> 



wo die Konstante C„ tP sich durch die Annahme x = 1 bestimmen läfst; 

 dadurch erhält man 



k~i (n-\-r — 1 



(14) C n , p = (1— (— 1)") «„- (— 1)"-^ I ' I ö„ 



r = 1 /* ' 



Nova Acta XC. Nr. 3. 23 



