[59] Der Eulersche Dilogarithmus. 179 



wo man also wegen (14) 



(20) <7 9>2 = (1 — (— 1)5) öji2 _(_i) 8(Z(J?+2 



zu setzen hat. 



§ 13. Andere lineare Transformationen des Arguments. 



Die Funktionen S ntP (x) gestatten noch einige andere lineare Trans- 

 formationen des Arguments; die so erhaltenen Formeln werden indessen so 

 kompliziert, dafs wir uns darauf beschränken, die entsprechenden viel ein- 

 facheren Relationen für die L, hP (x) und M„ iP (x) zu entwickeln. 



1. Setzt man in die Integraldefinition für L np {y) 



l 



so ergibt sich 



l+rc' 



■■& 



;■/ 



losR -iih) losP (<rh) 



1 \ (_l)»+J>- 



1 +xj ' " _ (»—!)! p\ +- x 



Z*.p (t-t^) = - \- ^, ,, • / v , ■ „ «*s + C, 



woraus durch Anwendung der Binomialformel 



CD *,, fe-U = _1V' <_!).(*) /- lo 8 ^-;(l+x).log«x d 

 "\l+a:/ (« — 1)! p! ** W/ 1 + ^ 



und somit erhält man durch partielle Integration 



/ 1 \ 1 y? . , fp\ / log ' g log n+p ~ s (1 + x) 



a '- p \l+x) (« — 1)! p! ' t — d l j W V W+i> — S 



s r iog«+p-> (1 + a:) log'- 1 a: \ _■_ 



W + jJ S / X ] 



nun hat man aber 



p\ ln-\-p — s — 1\ ln-\-p 



s) \ n — 1 / V s 



(« — 1)! p\ {n+p — s) (m+j>)! 



und also erhält man die Formel 



1 \ _ 1 yi (n+p — s — \\jn+p\ 



m 



i „( r y_ fc ,_^ j .2(- v r + ^r , )r:*)'*"**^+-) 



n — 1 ) **•*+*— &)• 



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