[63] Der Eulersche Dilogavithmus. 183 



Bezeichnen « und ß die (ungleichen) Wurzeln der quadratischen 



Gleichung a + bx + cx* = 0, so hat man offenbar eine endliche Zahl von 

 Integralen dieser Form 



-&■* 



f log P(a — x) log? ( ß—x) 

 J >'*> r —J (a-xY~ ~ CX 



zu bestimmen; ist r>l, so erhält man durch partielle Integration die 

 Rekursionsformel 



P'Q* r 



_ log? (a—x) log* (ß—x) y q f log'' (a— x) log i- 1 (ß—x) 



(r— 1) (a-x) '- 1 + r—1 " "- 1 ' q - r + r— 1 J («— x)- 1 (0— x) ' 



und somit • haben wir schliefslich noch das Integral J Ptit i zu untersuchen; 



setzen wir a — x = ?/, — cc = (0 — «) ( 1 + „_ ), findet man unmittelbar 



0— «)■ / 



• = « .' log* »/ log »-• [ 1 + 3-IL- ) äy 



und somit ist unser Integral bestimmt, indem man die Funktion 



( — 1)p+i-i flogv-i-x loga'fl — ax) , 



(1) L p , q{a ,x) = ^-^ • j -* 1-i * dx, 



das heifst 



^ = p — i 



■V^ ( — IV log*« 



(2) Lp, « («, a;) = >d .i * S i>-*. * ^^ 



s=0 6 - 



einführt. 



Man hat z. B. 



/» log-* (!+*») dx = h . r iog-ni+ x^) clx + , /•log -(i+^ Äa .. 



y 1 + x 2 J 1— *'x J 1+six 



die Transformation 1— ix = ky ergibt dann ohne weiteres 



/-log-Mi + ^^j. /'iog^(y(i-*y)) d 



woraus, indem man bemerkt, dafs das letzte Integral rechter Hand in (3) 

 durch das erste bestimmt werden kann, wenn man nur i mit —i vertauscht : 



(4) t^y-ö^ „ = | :;|'(x„,(i, ,_, fa )-^. (i, 2+2 ,,)). 



Setzt man in (4) x = tg q>, so entfliefst diese andere Integralformel 



