184 Niels Nielsen, [64] 



2"-' C . i P X^ ( t ß 2e—i<p\ _ /l 2ei<P\\ 



(w — 1)! J 2 ; r^ V V4 cosrjp / \4 cos <p/J 



offenbar kann dies letzte Integral in ähnlicher Weise wie dasjenige in § 5 

 behandelte viel speziellere umgestaltet werden; doch sind die entsprechenden 

 Ausdrücke natürlich hier viel komplizierter. 



Das Integral (5) kann auch als Spezialfall des folgenden gefunden 

 werden : 



II- J <P n log* cos (pdy>, 



wo p positiv ganz, n ganz und nicht negativ vorausgesetzt 

 werden. 



Setzt man in der Tat in die Formel 



(_l)»+y-i flog"~Kx\ogP(l+x) . * v^O— l)*log»£ c 

 x = e i( P, 1 + x = 2 cosi^-e-r, so ergibt sich 



■ lV'+y— '/ / / /aj\l^ 



— . / (irr,\"-l Ine p.nn-l«i 4- llnc 9 J — I (im = 



(» 



} t n ui' - / (»»"- 1 log cos 1 g>+ (log 2+^|) 'dy=>^ [z^}L. Sn _ Ml{ -eup). 



Betrachtet man demnach für p = 1, 2, 3, 4, . . . die Formel (6), so 

 kann das allgemeine Integral offenbar durch vollständige Induktion bestimmt 

 werden. Für n = 1 findet man das Integral (5) wieder 



III. Aus der für | x | <: 1 konvergenten Potenzreihe 



r> = OO 



X< x* (l 1 1 



ergibt sich für die Funktion 



TH , V "^(—l)'-^ 2 '' /l 1 1 1 



*«(*) =i; ! -^r~'-(i + 3 + 5 .+ ■■• + 2^1 

 der Ausdruck 



F.+1 (.r) = 2 " + 1 &'„_,, , (— a-2) — 1 (S'„_!, 2 (iä;) + S„_i, 2 (— ix)); 

 da nun ebenfalls für | x J <^ 1 aber a; =f= ± *' 



x 1 (— i)*- 1 ^ /l 1 1 



