186 Niels Nielsen, [66] 



zu untersuchen; das erste dieser Integrale läfst sieh durch Potenzen von 

 log x bestimmen ; weiter findet man durch partielle Integration 



(a — x) i -P\og n x n j log" -1 « 



p — 1 p — 1 / (a — x)P" l x 



so dafs wir offenbar nur das Integral J„ tl zu betrachten haben. 



Zu diesem Zwecke benutzen wir die Formel §11, (13) und erhalten 

 somit ohne weiteres 



(3) Ji,, = (_!)-., /2^^.^ +I (- 



p = ■* \ 



womit unser Satz bewiesen ist. 



Natürlich kann man aus dem Integral (1) unter Zuhilfenahme der 

 gewöhnlichen elementaren Transformationen verschiedene andere Integral- 

 formeln herleiten. Wir wollen unten zwei solche Anwendungen näher 

 untersuchen. 



I. / F(x) arctg"« dx = (|) / F (x) log" (t— ^) dx; 



l'+*= ^ 



setzt 



man 















(4) 



1 — 



1 + 



■ix 



ix 



= y, n> 



1—9 



(1 + 2/) 



dx 

 V dy 



2 



<(!+»)*' 



und führt 



man noch 



die in 



y 



rationale Funktion 



(5) 









*G0 



= 



2 



f( l ~ y 

 \a+y)i 



Hi + y) 2 



ein, 



so erg 



ibt 



sich 











(1+2/) 2 



(6) 



/ F(x) arctg"xdx = (|j • / # {y) log n # 



Von dieser Formel haben wir noch die folgenden drei Spezialfälle 

 zu betrachten: 



1. F(x) == 1, &{y) = — 



(l+y)*r 

 durch partielle Integration und Anwendung der Formel § 11, (13) ergibt sich 



(7) (- 1 )"- 1 . f^* X dx-(L\ n -\ rc-D". yi°g"y f %^(- ^iog^ i5 ( } 



(?j (»-!)! y alCtg ^"W [(»-!)« 1+* ^o i" * 



