[b'j Der Eulersche Dilogarithmus. 187 



2. *» = *-, # w = _ r L__ r L- ; 



aus § 11, (13) findet man hier 



3. Durch partielle Integration erhält mau 



( — 1)" / jTax<itg n x arctg"a;\ __ ( — 1)" /Vctg "- 1 a; 



«! VJ aW~~ c "• ä J — (n—l)\J x(l + x?) 



■woraus unter Anwendung- der Transformationen (4), 



ix, 



)" / /"arctg B s 



/"arctg»; arctg»x\ (— l)"" 1 log»«/ * ^i \— 1)? log*«/ 



II. J F{x) aresin "« cZa; = *— * • f F(x) log" («'# + l/l — X L ) dx; 

 hier setzt man 



/ — y 2 — 1 ^aj 1+2/ 2 /z— 1 + 2/ 2 



1 2y; d«/ 22/-« ' 2y 



führt man noch die in y rationale Funktion 

 (11) T{y) = -^ß 7 .F U 



2y-i \ 2 y i 



ein, so ergiht sich die Integralformel 



(12) fF{x) aresin n x dx = i~ n f T{y) log" y dy . 



Da yarcsin"a; dx sich durch elementare Funktionen ausdrücken läfst, 

 haben wir hier nur die folgenden zwei Spezialfälle der Formel (12) zu 

 betrachten : 



1. F(x) = x~\ ¥(y) = ., * ,, = + t-, T • 



2/(1 — y l ) V 1+2/ 1—2/ 



in diesem Falle ergibt sich die Formel 



i)»- 1 A> 



( — 0" _1 / aresin"- 1 * _( — l)Mog n *y 



(13) (» — •«*' ' ^~ 



2. Durch partielle Integration erhält man 



- 2 ( -=^^ (^ (2/) + S„ (- 2/)) - 



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