188 Niels Nielsen, [68] 



/aresin "x , aresin n # /"aresin "~ l x , 

 — - — dx H — - = n I . dx , 



X* ^ X J x\/\—X* 



und somit liefert die Transformation (10) diese andere Identität 



/ aresin "a; , arcsin n a: ., /log" -1 « 



— - — dx^ - = — 4we-»+ 1 / -^ — f 

 x* x J l—y 2 



dy, 



woraus die Integralbestimmung: 



n^ (—Wf /' aresin"a; aresiu"^ 2 ^y ' (— IV lo g*y /g . 



Eine Vergleichung der beiden Formelpaare (9) und (13), (8) und (14) 

 ergibt ohne weiteres, indem man y denselben Wert zuerteilt, den folgenden 

 Satz, den ich früher in ganz anderer Weise hergeleitet habe: 1 ) 



Setzt man der Kürze halber für x\ < 1 



(15) -sm^ = 2: A.*" + ". =^==2*..*- + ". 



5 = s = 



so hat man die beiden Bürmannschen Reihen 



(16) 



v n+28+1 . ( 2x \" + is OB V B* 





a; 



n + 2s 



iC" + 2s 



V" n + 2s+l D / sc V + 2s V A 



tzi n + 2s \\/i—xv f^i n + 2s 



III. Aus der Identität 



ergibt sich ohne weiteres die Integralformel 



n7 > (— 1)"-' /*lo S "-ia;arct g a; , «' * V '(— l)' Iog»a: , e . .. c ,. .. 



(17) ' (»— lj! / ' ~T^ " dj;= 2 , ^~ "^T" -( s »-i»(— tab — B—fltx)). 



§ 16. Integrale mit den Funktionen »S', ; p (cc). 

 Unter Anwendung der Differentiationsformeln 



D x S a (x) = - S„_! (x) , B x S, (afl = 



# 1 — X 



i) Annali di matematica (3). Bd. 10, p. 153; 1904. 



