[69] Der Eulersche Dilogavithmnp. 189 



kann man offenbar obne weiteres die Mehrzahl der in § 7 entwickelten 

 Formeln verallgemeinern. Setzt man in der Tat «4= — 1 voraus, so erhält 

 man durch wiederholte partielle Integration 



/avr\l «+/ VM— W S„_ r (x) . (—1)" fx a + l , 



*a.toäx = ^:1 (a + 1)r+1 + ia ~ TlT n-J Y=r x ** 



oder nach einer einfachen Umformung 



(1) fx«S n {x)äx = *«+!. 2 (-^^ -(-D-^g^ l, g (l- g ) 



(— l)«-i fl — x «+l 



woraus das bestimmte Integral 



i 



/r = n — 2 

 x^S n (x)dx = V ^i"' r - " ^ (y(° + 1) + g) . 

 r = U 



r = n— 2 



(2) 



wo man also 9} («) > — 1 veraussetzen muls, hergeleitet werden kann. 



Bedeutet p eine positive ganze Zahl, so hat man speziell 

 i 



''O 



woraus man ohne Mühe diese andere Formel 



i 



(4) 



/^„^£^ + ^ I + £ + > + ., + i), 



r S q Jto?)SAß) dt = v ( _ 1)r S/! _ ; . . S?+r+l(a;) _ (_!)» (& +s+1 (a>) + S B _ ? _i, 2 («)) 



herleitet; setzt man in (4) speziell cc = 1 und q = w — 1, so ergibt sich das 

 numerische Resultat 



(5) 2 (S 2 „+S 2ra _2,2) = ^ (— 1)'S,. So»-,., 



r = 2t> — 2 



V 



= 2 



das uns bald sehr nützlich sein wird. 



Aus der allgemeineren Differentialformel 



I> x S n>p (x) = - • S„-i tP (x) 

 findet man -unmittelbar die Integralformel 



(6) 



f a *-*.pto 8 'A 4 dx = iStnAxh 



