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während man durch wiederholte partielle Integration diese andere 



PSn-y P (:r) S„, p (x) ^ = *£,' ( _ 1)r _, ^_^ ^ ^^^ 



J X fTi 



/dx 

 S n+s -i tP (x) S n - itP (x) — 



herleitet, und somit erhält man wegen (6) nach einer einfachen Umformung 



S n+q -l tP (%) S„- q<p — = - -_^(— l) r S„- q + rjP (x)-S„ + q - riP (x). 



r = 



Setzt man daher n+p als ungerade voraus, so kann die Funktion 



- • /S„, g (x) S Pi q (x) 

 demnach wegen (7) unbestimmt integriert werden. 



§ 17. Die Legendresche Funktion S 3 (x). 



m Zusammenhang haben wir noch einige b 

 Schäften derjenigen von Legendre 1 ) eingeführten Funktion 



In diesem Zusammenhang haben wir noch einige besondere Eigen- 



_ i 



* ^> xp /"log t los (1 — tx) , 

 (1) 8 t (a>)=y i -j-= / -2 Y~ -i-dt 



p=i 1 J 



zu erwähnen. 



Man findet unmittelbar 



a I log 2 x 

 2'J 1—ax 



(2) -,• I - - dx = S 3 (ax) — logx-ä\(ax) — -i log 2 « • log (1 — ax) 

 und für die beiden Funktionen 



X X 



,qv T t\ f l °S X 10g (1— *) , ,, ,. f\o%X log(H-*) , 



(3) i 2>1 (x) = I — - dx, M, \ (x) = — / — dx 



Ix Ix 



die ähnlichen Entwicklungen 



(4) i 2 , , (x) = S 3 (x) — log x ■ dl (x), M 2 , i (x) = '. — S z (— x) + log x • dl (— x), 

 von welchen die erste von Legendre herrührt. 



') Exercices de calcnl integral. Bd. I, p 247 — 249; 1811. 



