L'l] Der Eulersche Dilogarithmus. 191 



Mit Kummer 1 ) bestimmen wir nunmehr das Integral 



r 



(5) j i L°g(" + frQiog(r+jjO d 



/ a-\-ox 



aus der Identität 



2 log (a + ßx) log ( 7 + da) = — log 2 (^p||) + log 2 (« + ßx) + log 2 ( 7 + Sx) 



ergibt sich unmittelbar 



'-\7 « + &x dx + i -j — a ~+ix~~ ax ~ a -'J 





oder kürzer geschrieben 



^ v 



J 2 J\ ~f" J cA> 2 e/3 . 



Wir setzen dann in die Integrale J,, J" 2 und J s bezw. 



« + ßx = y, / + da; = y, — — t- = 2/ 



7 + oo; 



und erhalten somit das Integral (5) durch vier Integrale von der Form (2) 

 ausgedrückt. 



Nach dieser Bemerkung beweisen wir nun ohne Mühe den folgenden 

 von Kummer 2 ) angegebenen Satz: 



Bezeichnen F(x), G (x) und H (x) drei willkürliche in x 

 rationale Funktionen, so kann das Integral 



(6) J'F(x) log (ff (x)) log (H(x)) äx 



durch eine endliche Zahl von Funktionen S s (a + bx) und dl (a + bx) 

 und von Logarithmen ausgedrückt werden. 



Natürlich kann man auch hier das Integral (6) den gewöhnlichen 

 elementaren Rationalitätsformationen unterwerfen und auch z. B. eins oder 

 zwei der vorkommenden Logarithmen durch Arktangensfunktionen ersetzen. 

 Durch die so angedeutete Methode kann man z. B. auch das Integi'al 



(7) J F(x) arctg (ff (x)) • aresin x äx 

 bestimmen. 



i) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 239; 1840. 

 2) 1. c. p. 331. 



