192 Niels Nielsen, [72] 



Durch den Kummer sehen Satz kann man auch die Funktion 



(8) S 3 (f(x)), 



wo fix) eine willkürliche in x rationale Funktion bedeutet, reduzieren, falls 

 die so erhaltene Formel sich nicht in eine formale Identität verwandelt; 

 dies kann nämlich, wie Kummer 1 ) gezeigt hat, eintreifen. 



Gehen wir z. B. mit Kummer von der Funktion 



(9) A 3 (x) = /' ^p ix = — 2 S 3 (— x) + 2 log x dl (— x) + log» x ■ log (1 + x) 

 I J ■+- x 







aus, so finden wir 



<>») 4, (;-: g) - /w (°±£) • b^br, - ftk) -• 



und es kommt somit nur auf der Bestimmunp; von 



/ log(« 



ßx) log ( 7 + 6z) • - T - ^+ g J +d)g; fte 



an. Wendet man aber die für das Integral (5) angegebene Methode auf 



(11) an, und führt man das so erhaltene Resultat in (10) ein, so bekommt 

 man eine formale Identität. 



Wir erhalten demnach nur eine wirkliche Formel, wenn entweder 

 das Integral (11) in anderer Weise bestimmt werden kann, oder wenn es 

 ganz wegfällt; diese letzte Möglichkeit tritt nur dann ein, wenn 



1. ß = 0, a = 1; 2. ß + 6 = 



angenommen wird. 



Im ersten Falle finden wir die Formel 



(12) A 3 (^y = = A % (7 + dx) - i log3 ( 7 + 6x) + C 



also einen Spezialfall der Formel § 12, (18); im zweiten Falle setzen wir 

 « + ßx = (« + y)s, / — ßx = (a + y) (1 — z) und erhalten somit 



*(rb)-/H^)-£- 



') Journal für Mathematik. Bd. 21, p 332; 1840. 



