Kapitel III. 



Einige numerische Argumente. 



§ 18. Die Zahlenwerte s„ tP . 



Setzt man in die Formel § 12, (18) x = 1, so entfliefst das numerische 

 Resultat 



(1) (1 +(-D«) s» = -If ^ (1 + (-!>") *~" ^ 



r = ' 



welche Formel die sukzessive Bestimmung der Zahlen werte s 2 „ gestattet; 

 setzt man in der Tat 2» anstatt n, so ergibt sich die Rekursionsformel 



„ r v'(-l) r i !r (-l)"jr 2 » 



(2) 2s 2n = -j.^. ___.„._„ __, 



die wegen der beiden für \x < 1 giltigen Entwicklungen 



(3) 



mit der Identität 



7i cot ot x = 2 (s., x + s 4 « 3 + s e x'" + . . .) 



x 



^— = - + 2{a 2 x + 0^ + ö ^ + . . .) 



sin jra; x 



COSJTX- — — - = JtCOtjTX 



sin jtx 



zusammenfällt. 



Es liegt auf der Hand, dafs die Rekursionsformel (2) mit der 

 Eulerschen 1 ) Formel 



02k — 1 J> 



wo die B„ die Bernoulli sehen Zahlen bezeichnen, gleichbedeutend ist. 



') Introductio in analysin infinitoium § 168; 1748. 



