[To] Niels Nielsen, Der Eulersche Dilogarithmus. 195 



Für n ungerade fällt aber die Zahl s n in (1) weg; unsere ganze 

 Funktionengattung S„ tP (x) liefert überhaupt kein Mittel zur Bestimmung von 

 s 2n+1 , so dafs die Frage über die Natur dieser Zahlen noch eine offene bleibt. 



Im Anschlufs an der in § 1 erwähnten Bemerkung von Stäckel 

 bemerken wir hier, dafs Euler 1 ) die vier Integralformeln 



7 #* 



/dx Cdx fax ( 1 \ jr 4 fdx Pdx Pdx , 



-JtJ- ** M = w l-J-J^ 



i i 



/dx fdx jr 3 fdx fax fdx , \ /l + x n 



-J - arctg, = -, J ' -J ' -J ' - log \/ l — = - 



4 



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angegeben hat; er fügt hinzu: 



„Or, il ne parait aucune route directe qui nous pourrait mener ä ces 

 detemiinations, ce qui merite, par cela meme, d'autant plus d'attention". 



Eine direkte Methode zur Bestimmung dieser vier Integrale kann 

 also erhalten werden, wenn wir die entsprechenden unbestimmten Integrale 

 direkt untersuchen und die Formel § 12, (18) herstellen; dies liegt schon 

 auf der Hand für drei dieser Integrale; für das vierte können wir auf § 15 

 hinweisen. 



Gehen wir aber nun von den Zahlen s n als bekannt aus, so wollen 

 wir den folgenden Satz über die noch allgemeineren Zahlenwerte 



Sn. v Sn. n ^^> 



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p.r 



°P,n ^ r n+l 



r = p 



beweisen : 



Die Zahl s„ iP ist eine ganze rationale Funktion mit ratio- 

 nalen Zahlenkoeffizienten der Gröfsen s. 2 s s s t . . . s n+p ; diese 

 Funktion ist aufserdem homogen vom Grade n+p, falls man 

 der Zahl s r die Ordnung r zuerteilt. 



Um diesen Satz zu beweisen, gehen wir von dem ersten Eulerschen 

 Integrale aus: 



(5) yVni-*)M* = ^l^i^ l = *fe* + i); 



r(x + y+l) 



i) Opera postuma. Bd. I, p. 438; 1862. 



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