200 Niels Nielsen, [80] 



Bei diesen Untersuchungen gehen wir von der Formel § 12, (19) für 

 x = 1 aus und erhalten somit 



s„, 8 — (— 1)" s-,,2 == (-1)"- 1 (ns„ +i + Jiis n+l ) + ' ' g + >^ K-f • C„_,, 2 ; 



*• ' ' ' r = 



setzen wir nun der Kürze halber 



A n == (1 - (- 1)' ! ) s„, 2 + (—1)" (ns n+2 + jiis n+l ) — ~~^-., 



so ergibt sich wegen des Hilfssatzes § 9, I. die Umkehrungsformel 



(3) C„, a = 2* yi * ^'-'' ■ 



r = 



Setzt man nun in dieser Relation 2n — 1 anstatt ■», so liefert die 

 reelle Komponente rechter Hand 



r ;L"7 1 ( i)'-jt 2r 



(4) tf 2B -],2 = ^ ~72~V — ( 2 s 2n _ 2,-1,2 + (2m— 2r — 1) s 2n _2r + i) 



"-•2- 727+1)! -*,-»r-x. 



während die imaginäre Komponente nur eine andere Bestimmung der Zahlen 

 s 2 „ liefert; dasselbe gilt der Formel (3) für ein gerades n. 



Eliminiert man nun wegen § 18, (14) die Zahl s 3 ,_ I2 , so erhält man 



„ v^ (— 1)'^ ' , V 1 (— 1)'JT 2 '+ 2 



t*—l, 2 — ^ ■ (2r) , • S 2fl - 3 r+. + ^ p r+ l)I " S2 «- 2 '-l 



'' = " _2 c 1 \r «2 r * = "— "— 2 



& ' Tö~\\ * SiqSin — ir — iq + Xi 



r = ^ '' 5 = 1 



und der zur Potenzsumme s 2n _ 2p +i gehörige Koeffizient wird 



(— i)' , - 1 jr 2 ; > 



(5) 



(— l)^ 2 '' 2^ 2x* 



+ 



(2p — 1)! ' 



dieser Ausdruck kann aber durch die Potenzreihen § 18, (3) bestimmt 

 werden, indem man die Identität 



je cot jr ./ • cos jt x = — — — Jt sin jt x 

 sin n x 



zu Hilfe nimmt; dadurch findet man, dafs der Ausdruck (5) den Wert 2ö 2v , 

 haben mufs, und somit ergibt sich schliefslich die einfache Formel 



