[81] Der Eulersche Dilogaritlimus. 201 



,,, S 2n +l — (2w — 1) Ö 2 k + 1 f'^ 



( b ) ÖSn-l,2=- g H ^ 02p * S 2 „_2^+l, 



P = l 



welche derjenigen für s.,„_ 1%2 § 18, (16) erhaltenen sehr ähnlich ist. 



Die Formel (7) ist jedoch nur für n^>2 anwendbar; für n = 1 findet 

 man aber direkt 



(7) öi, ä = i(ß 3 — ö 3 ) = i'S 3 , 



und also hat man wegen § 18, (17) 



"^i—iyn ii i \ i^^ ! /iii i \ 



--^l/ll 1 \ „ P V? l A l l l 



setzt man noch der Kürze halber 



P =_0O 1/11 1 



so ergibt sich aus (7) und (8) 



9 7 ß 7 



(10) ^ = IT S " B = ift"*' 2 = 9" 



Über die Reihensummen ö KiJ) haben wir noch die folgende für n^2 

 giltige Formel 



(ii) o P . n = (-!)-> ( l+P ~ l ) ^.^"f(-Di("t S )-^..^ 



zu beweisen. Zu diesem Zwecke setzen wir in § 13, (3) x = 1 und er- 

 halten somit 



*V? /« + p — 1 — 1\ 



(12) S a , p = 2*[ n _l ) • Ol+l, n+p-t-U 



woraus man ohne Mühe durch vollständige Induktion die Formel (11) herleitet. 

 Setzt man in (11) speziell n = 2 und 2« — 1 anstatt p, so entfliefst 



/2»+l\ , S= V^ 3 , „„/<Z + 2\ 



(13) ÖJ— !,»=( g Jöl,!»+^ ( ~ T) ( q )- S ?+3,2 B - S -2, 



woraus wegen (6) und (11) der folgende Satz hergeleitet werden kann: 



Wenn n+p ungerade ist, so ist die Reihensumme o H ; , 

 eine ganze rationale Funktion von s,s 3 s i .. . s n+1 , mit rationalen 

 Zahlenkoeffizienten, und diese Funktion ist homogen vom 

 Grade n+p, wenn die Zahl s,. vom Range r gerechnet wird. 



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