[83] Der Eulersche Dilogarithmus. 203 



und aus § 13, (5) die entsprechende spezielle Relation 



(6) a >'> = öl -»-(f+iy.- 



Die Zalil a u 2p kann somit rational durch log 2 und die Potenzsummen 

 s 2 s 3 Si ... s 2p+1 ausgedrückt werden ; allgemeiner kann man sagen : 



Die Funktionenwerte 8„ iP (;) definieren, aufser log 2 und 

 S q<r (±l) für q + r^n+p, keine andere Zahlengattung. 



Setzt man in (4) p = 1, und beachtet man, dafs a L = log 2 ist, so 

 ergibt sich wegen § 11, (11) 



Viog.a a 



g = n 



(7) a l<a = S n+ i— ^ 



3=0 



woraus die Umkehrung 



? ^T 2 (— l)»log«2 , log "2 



während die Formel § 13, (8) noch dies andere numerische Resultat 



1 = n — 2 , _ 



■«r* lO" "2 



(9) ^ (— l)«i«-7-i,j+i(i) = ö» ~r 



liefert. 



Mit diesen Bemerkungen brechen wir hier unsere noch sehr unvoll- 

 ständigen Untersuchungen über die dem Argumente x = \ entsprechenden 

 Zahlenwerte unserer Funktionen S„ iP (x) ab. 



§ 21. Verallgemeinerungen der Catalanschen Konstante. 



Setzt man in § 12, (18) x = — e l( P, wo — jc <^ <p <; + x anzunehmen 

 ist, so erhält man 



Sn ( -ei<p) + (-l)-S. (--«-*») = -jf ^ (H-(-l)-") ff_r-^, 



woraus, je nachdem n gerade oder ungerade vorausgesetzt wird, die beiden 

 elementaren Formeln 



'^ (—ly-icmpy r y ^— i) r g»»- »r , r (— 1)" g> 8 » 



*»» " ^ (2 ,-)! '*! + 2 "(2«)! 



/, = ! 



^y ( _l) P -l sillj) y r ^ 1 (-l)r g ,._ lr r+l ( -1)" y 2 "+ : 



*** ^««+1 ^ (2r+l)! ^ 2 *(2w+: 



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