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hergeleitet werden können. Es ist wohlbekannt, dafs diese Reihen mit den von 

 Raabe 1 ) eingeführten Bermullischen Funktionen sehr nahe verbunden sind. 



Es ist aber übrigens bemerkenswert, dafs die allgemeine Formel 

 § 12, (16) für keinen anderen Wert von p (als den obigen p = 1) ähnliche 

 elementare Formeln liefern. 



Wir wollen nunmehr die Funktionenwerte S n (i) betrachten; setzen 

 wir zu diesem Zwecke der Kürze halber 



llll 



also speziell für n = 1 und n = 2 



(4) r, = 4 -, t 2 = (?, 



wo 6? die Catalansche Konstante bezeichnet, so erhalten wir unmittelbar 



(5) S n (i) — ix n — — • ö„, 



und aus (2) ergibt sich für tp = - die Formel 



r y' (-l) f c,. -.r /Jt\»r+« (—1)- 1 /jry+i 



(b) »»-+1==^ pr + VJT'^) + " "^~ * (2«"+!)! ' V2 j ' 



und somit sind die Reihensummen t„ für ungerade w auf der Potenz n" 

 zurückgeführt. 



Über die Zahlen z„ für gerade 2 ) n wissen wir aber nichts, und 

 unsere ganze Funktionengattung S n] ,(x) liefert uns kein Mittel, um die 

 Natur dieser Zahlen kennen zu lernen. 



Um den fundamentalen Unterschied, der sich bei diesen Untersuchungen 

 überall hervordrängt, je nachdem die Summe der Stellenzeiger gerade oder ■ 

 ungerade angenommen wird, noch deutlicher hervorzuheben, betrachten wir 

 für x = % die Formel § 12, (19). Setzen wir der Kürze halber 



P ^°(— lK" 1 / L 1 1 1 



(7) 



p- 



md (2p)"+ l \1 ' 2 ' 3 ' 2p — 1 



_'^H)H / T 1 1 i 



" D "' 2 - -- (2p + 1)"+' ' \l "*" 2 ^ 3 + ■ • ' * 2j3 



!) Die Jacob Bermullische Funktion. Zürich 1848. Journal für Mathematik. Bd. 42, 

 p. 348—376; 1851. 



2 ) Über die Zahlen s> n +\ und r in vergleiche man die Abhandlung von F. Rogel in 

 Sitzungsberichte der Prager Akademie 1907, p. 1 — 14 (XVII) 



