Der Eulersche Dilogarithmus. 



[85] 



so erhalten wir 



(8) S„ 2 (0 = — -4„. 3 — iS»,!, 



und das obengenannte Verfahren liefert die beiden Formeln 



205 



(9) 



Sin, 2 



«To„ + 2 — -^- 3 . Öo„ + 1 -f 



(-!)'■ 



7t\2r+l 



(2 >•+!)! 



• (Gin— ä» — 1,2 

 + ■(« — r— *)Ö8n-2r + l) 



"**»-!. 2 - : "027+2" • °"2n+l + 7 * T 2n — 2a 



.(nY 



(2r)! 



(öjn — 2r — 1, 2 



+ (« — r— i)ö2«-2,-+l). 



Setzt man in die letzte dieser Formeln w = 1, so ergibt sich 



(10) 





1 



4p*- \1 ' 2 ' 3 



2p — 1 



= ? ff. 



29 

 64 



»3. 



woraus wegen § 19, (7) die ähnliche Relation 

 (") ^ -TZ-- T + S + 5+- 4 



4l>2 



1 



2^ — 1 



4 16 



hergeleitet werden kann. 



Durch die Formeln (9) sind also die Zahlen A 2n _ 12 und B 2n2 auf 

 die s p und r ip reduziert worden; über die entsprechenden Zahlenwerte A 2n , 2 

 und B. 2n _ h2 wissen wir aber nichts. 



In diesem Zusammenhang erwähnen wir noch eine Folgerung der 

 letzten Formel §11, (12); setzen wir in der Tat x = e i( P, und beachten 

 wir die Identität 



log (1 + ei'P) = log 2 + log cos | + y , 



so erhalten wir nach einer einfachen Umformung 



<p 



(12) 



(— 1)" 



(*— 1)! 



^ • log 2 + ^— j + »" / 9J— 1 log cos l dg> 



r = 



S„_,.+i (— e»<p) + ö„+i. 



Für g> = x ergeben sich dadurch die beiden numerischen Formeln 



