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2. Zusammenhang mit der Funktionentheorie. 



Für die transzendente Untersuchung der mit Membran versehenen 

 Kreisbogenpolygone gibt uns die Funktionentheorie grundlegende 

 Tatsachen. 



Es können nicht nur Kreisbogenvierecke, sondern überhaupt Kreis- 

 bogenpolygone mit beliebig vielen Ecken betrachtet werden. Die Anzahl 

 der Ecken sei n, tj eine in der Ebene des Polygons zu deutende komplexe 

 Variable. Geben wir irgend ein Kreisbogenpolygon mit Membran vor, so 

 wird die konforme Abbildung desselben (d. h. seiner Membran) auf die 

 oberhalb der reellen Achse liegende Hälfte der Ebene einer komplexen 

 Yariabcln z durch ein Integral der Differentialgleichung vermittelt: 



rT 





•6 



r 



f 





2 



w, 







1- 



An 





+ 





2 



' («| — a 2 ) • • («i — ««) 



(z — a,) . . . {z — a„) 



(a„ — a,) .. . (a„ — a„_i) 



+ 



+ 2i,_^- 4 + 2i,- ä ^- s . . . + IAA (K ) 



wobei ?/", ?/', ?/ Ableitungen von >/ nach z sind. 



Hierin werden, wenn je zwei aufeinanderfolgende Kreise des Polygons 

 reelle Winkel miteinander bilden 



sämtlich reelle Gröfsen, die durch die gestaltlichen Verhältnisse des 

 Polygons bestimmt werden. Es sei: 



üi <a- 2 < ... < a„. 



Jedem Intervalle «,. a v+J der reellen z- Achse entspricht ein Bogen 

 eines Begrenzungskreises. In den Punkten a^ ... a„, den singulären Punkten 

 der Differentialgleichung, aber nur in diesen, wird die Konformität der Ab- 

 bildung unterbrochen. Sie entsprechen den n Ecken des Kreisbogenpolygons. 

 Die Fläche eines hinreichend kleinen um «,, in der z- Ebene beschriebenen 

 Halbkreises wird auf die Fläche eines kleinen Kreissektors in der ?j- Ebene 

 mit der Winkelöffnung X r 7t abgebildet. 



