Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 13 



Die Differentialgleichung' bleibt bei Anwendung- einer linearen 

 Transformation 



* =£a xl «H/5 



ungeändert. Ist also rj ein partikuläres Integral, so ist a>? j^ das allgemeine 

 Integral. In Bezug auf die Differentialgleichung sind deshalb Polygone, 

 die sich durch eine lineare Transformation ineinander überführen 

 lassen, als identisch zu betrachten. 



Zu jedem vorgegebenen Kreisbogenpolygon gehört also eine Differential- 

 gleichung dritter Ordnung. 



Geben wir umgekehrt eine Differentialgleichung obiger Art vor, so 

 existieren bei beliebigen Werten der Parameter der Differentialgleichung 

 Lösungen derselben. Dabei wird die obere Hälfte der r-Ebene immer 

 auf eiuen einfach zusammenhängenden Bereich abgebildet, die Begrenzung 

 der Halbebene auf die Begrenzung dieses Bereichs. Wählen wir sämtliche 

 Parameter, auch ?/ und rf reell und machen wir mit Hilfe der Taylorschen 

 Reihe einen Ansatz für r\, so finden wir aus der Differentialgleichung für 

 reelle Werte von z auch reelle Werte von ?;. Ein innerhalb des Kon- 

 vergenzbereichs liegendes Stück der reellen ^-Achse wird also durch ein 

 geeignet gewähltes partikuläres Integral auf ein Stück der reellen >;-Achse. 

 durch ein allgemeines Integral auf einen Kreisbogen abgebildet. 1 ) An den 

 singulären Punkten a v wird die Konformität der Abbildung wieder derart 

 unterbrochen, dafs in der Begrenzung des Abbildes der halben ^-Ebene ein 

 Winkel von der Gröfse X v -jc entsteht. 



Wir erhalten also durch Vorgabe eines Polygons nicht nur eine dazu 

 gehörige Differentialgleichung, sondern auch bei Vorgabe einer Differential- 

 gleichung- ein dazu gehöriges Polygon. So ergibt sich der Satz : 



„Jedes Kreisbogenpolygon kann durch ein Integral einer Differential- 

 gleichung dritter Ordnung auf eine Halbebene abgebildet werden. Umgekehrt 

 existieren für beliebige reelle Werte der Parameter der Differentialgleichung 

 immer Kreisbogenpolygone. Im besondern existieren Kreisbogenpolygone zu 

 beliebig vorgeschriebenen Winkeln." 



i) Riemann, Werke, 2. Aufl., S. 312 ff.; Schwarz, Crelles Journal, Bd. 75 (1872); 

 ges. Abh., S. 226. 



