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Durch reelle lineare Transformation von« können wir in der Differential- 

 gleichung drei singulare Punkte an beliebige Stellen der reellen 2-Achse 

 verlegen. Die übrigen singulären Punkte kommen dann unter Aufrecht- 

 erhaltung der Reihenfolge auch wieder auf die reelle ^-Achse zu liegen. 

 Die entstehende Differentialgleichung vermittelt die Abbildung desselben 

 Polygons wie die vorige auf eine Halbene. Alle Differentialgleichungen, 

 die durch reelle lineare Transformation der unabhängigen Variabein in ein- 

 ander übergeführt werden können, sehen wir deshalb als äquivalent an. 

 Unter den n singulären Punkten sind also nur n — 3 wesentliche Parameter, 

 dazu kommen die n Gröfsen 2, . . . X„ und die n — 3 Gröfsen A n ^ . . . A , die 

 wir als akzessorische Parameter bezeichnen (K), sodafs unsere 

 Differentialgleichung 3w — 6 wesentliche Parameter enthält. 



Bei drei singulären Punkten sind also X u 1,. ^ die einzigen wesent- 

 lichen Parameter. Es folgt: 



„Ein Kreisbogendreieck ist durch seine drei Winkel bestimmt" (K). 



Bei vier singulären Punkten erhalten wir einen akzessorischen Para- 

 meter. Ein Kreisbogenviereck besitzt also sechs Parameter, was wir 

 später auf elementarem Wege bestätigen werden. 



Werden in unserer Differentialgleichung die Parameter kontinuierlich 

 verändert, so verändern sich auch die Lösungen rj kontinuierlich, wenn nur 

 immer die singulären Punkte von einander getrennt bleiben. Demnach be- 

 kommen wir das wichtige Resultat: 



„Sämtliche möglichen Kreisbogenvierecke bilden ein 

 Kontinuum (ebenso wie alle Dreiecke)." 



Dieses Kontinuum der Vierecke soll im zweiten Teil der Arbeit auf 

 seine Eigenschaften hin untersucht werden. Vor allen Dingen wollen wirdas 

 Kontinuum untersuchen, das unter Festhaltung der Winkel durchlaufen wird, 

 wenn sich der akzessorische Parameter von — oo bis + oo bewegt. 



3. Historisches. 



Zuerst ist Riemann zu der Differentialgleichung dritter Ordnung 

 gelangt und hat auch die konforme Abbildung, die durch dieselbe vermittelt 

 wird, zuerst untersucht. Er hat in einer Vorlesung über die hypergeometrische 



