18 W. Ihlenburg, 



Wir benutzen das Tetraeder des Viereckskernes als Koordinaten- 

 tetraeder eines projektivischen Koordinatensystems, dessen Koordinaten wir mit 

 Xi, Zz, %3, x A bezeichnen. Auf der Ebene ah sei x A = o, auf der Ebene l>c x 2 = 0, 

 auf der Ebene cd x 3 = o, auf der Ebene da x x = o. Die Gleichung- unserer 

 Kugel kann dann in der Form geschrieben werden: 



4 4 



VT 1 'V 



fix* = ^J 2J Uik Xi Xk = °' 

 i i 



wobei wir festsetzen, dai's 



a ik = a ki 

 sein soll. 



Die Determinante der quaternären Form Q. xx ist dann symmetrisch 

 und möge mit R bezeichnet werden, so dafs: 



R = 



«n a !2 a Vi ß| 4 



Ü<1\ a-22 #23 «24 



a 31 «:)2 «33 «34 



a^\ «4-2 «43 «44 



Weil es sich um die Darstellung einer reellen nicht geradlinigen 

 Fläche handelt, ist R < 0. 



Da ferner die vier Geraden des Vierseits die Kugel reell schneiden 

 sollen, sind die vier Determinanten: «, 2 2 — a u a- 21 , a n - — a^a,^, a u i- — a 33 a u , 

 11 ir — «44 «11 positiv. 



Bezeichnen wir mit R ik die zum Element a ik gehörige Unterdeterminante 

 dritten Grades, so ist bekanntlich 



4 4 



</'„„ = ^* ^< R it u ( u k = 



1 1 



die Gleichung unserer Kugel in Ebenenkoordinaten u u u. h w 3 , u a . 



Wählt man nun die Kugel als Fundamentalfläche unserer projektiven 

 Mal'sbestimmung, so läfst sich der Kosinus der Entfernung zweier Punkte mit 

 den Koordinaten x u y { (i = 1, 2, 3, 4) bekanntlich aus der Formel berechnen: 1 ) 



Q x 



cos (./,. //,) 



^ij 



1 Sixx-V'^ 



J ) Cayley, sixth memoir upon Quantics, Phil. Transactions, t. 149 (1859); coli, 

 mathem. Papeva II, p 584. 



