Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 



25 



Wir drehen zunächst die Ebene x- 2 = um die Kante x-, — o, x± = o 

 des Tetraeders so weit, bis sie mit der Ebene x A = o zusammenfällt (Fig. 3). 

 Der Punkt 2 möge dabei in der Ebene x 3 = o etwa einen Kreis 

 beschreiben und nach 2' gelangen. Die Ebene x t = o denken 

 wir uns dabei um die Kante A drehbar. Sie fällt schliefslich 

 auch mit der Ebene a? 4 = zusammen. In der Grenze entsteht 

 ein geradliniges Dreieck 1 2' 4. Bezeichnen wir die Werte, 

 welche die Kanten und die Seiten ab und cd in dieser in der 

 Figur erkennbaren Grenzlage annehmen, mit A', B', C, B', ab', 

 cd', so sind die Längen der ganz sich im Endlichen erstreckenden 

 Seiten dieses Dreiecks: jt — A', JB', x + D' — C Ferner besitzt 

 das Dreieck den Winkel ab'. Es gilt die Relation der sphärischen 

 Trigonometrie : 



cos (m + D' — C) = cos (jc — A') cos B' + sin (jr — A') sin B' cos ab' 



Fig. 3. 



oder : 



cos A' cos B' — sin A' sin B' cos ab'. 



cos(D' — C") 



Nun ist cd = n. 



Da die Relation a), wenn wir in ihr cd' = n setzen, in die Relation 

 der Grrenzlage übergeht, gilt die Relation a) für die Mafszahlen des 

 Elementarvierseits. 



In entsprechender Weise beweist man die Gültigkeit der Relation b). 



Wir wählen weiter die Grröfsen a ik zunächst so, dafs alle vier Ecken 

 des Vierseits im Innern der Kugel liegen und verschieben 

 dann (Fig. 4) die Ebene ab des Tetraeders, bis sie durch 

 die Schnittgerade der Ebenen bc und da geht. Bezeichnen 

 wir die Werte, welche die Winkel des Eleinentarvierseits 

 und die Seiten ab und cd in der Grenz läge annehmen, 

 mit a', ß', y', ö', ab', cd', so sind die Innenwinkel des ent- 

 stehenden sphärischen Dreiecks n — /', ji — 6', n — a' — ß' 

 und ferner besitzt das Dreieck die Seite cd'. Es gilt die 

 Relation der sphärischen Trigonometrie: 



cos (jc — a' — ß') = — cos (jt — y') cos (jt — ö 1 ) + sin (jt — y 1 ) sin (ji — 6') cos cd' 



Fig. 4. 



oder : 



cos (a' + ß 1 ) = cos y' cos 6' — sin y' sin 6' cos cd'. 



Nova Acta XCI. Nr. 1. 



