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Unsere Relationen verhalten sich allen diesen Substitutionen gegen- 

 über invariant, folglich auch den durch zyklische Vertauschung aus diesen 

 zu bildenden Substitutionen und der ganzen Gruppe gegenüber. 



Diesen Vorzeichenwechseln entspricht gerade der Übergang vom 

 Elementarvierseit zu dem allgemeinsten Vierseit der Einleitung, wie folgende 

 Überlegung zeigt: 



Aus dem Elementarvierseit erhalten wir sämtliche allgemeinen Vier- 

 seite, indem wir erstens jeder Seite jeden der beiden möglichen Durchlaufungs- 

 sinne, zweitens jeder Kante jeden der beiden möglichen Richtungssinne, 

 drittens jeder Seite des zugeordneten polaren Vierseits jeden der beiden 

 möglichen Durchlaufungssinne zuordnen. Endlich können wir zu jedem 

 Winkel, jeder Seite und jeder Kante beliebig viele Multipla von 2n hinzu- 

 fügen. Da die Relationen auch bei der Vorzeichenänderung von j/jß invariant 

 bleiben, ist es zur Geltung der Relationen zwar erforderlich, dafs für alle 

 Winkel derselbe Drehungssinn genommen wird; aber der Sinn der Drehung 

 ist dabei ganz beliebig. 



Damit ist gezeigt: 



Die Formelgruppe der algebraischen Relationen gilt für 

 sämtliche Vierseite, welche den in der Einleitung gegebenen 

 Festsetzungen Genüge leisten. — 



Diese Untersuchungen gehen parallel mit den Studyschen Unter- 

 suchungen über Dreiecke. 



Die Formeln der sphärischen Trigonometrie lassen sich in ganz 

 analoger Weise wie unsere sechs algebraischen Relationen ableiten , wenn 

 man in der Ebene einen Kegelschnitt einer projektiven Mafsbestimmung als 

 Fundamentalgebilde zu Grunde legt und die Relationen aufsucht, welche 

 zwischen Winkeln und Seiten eines Koordinatendreiecks bestehen, auf das 

 die Gleichung des Kegelschnitts bezogen wird. Da bei der gewöhnlichen 

 sphärischen Trigonometrie, die sich auf gröfste Kugelkreise bezieht, Winkel 

 und Seiten immer reell sind, so ist bei der Ableitung ihrer Relationen ein 

 imaginärer Kegelschnitt der Mafsbestimmung zu Grunde zu legen. Der 

 Studyscfie Dreiecksbegriff mufs sich auf ein solches Koordinatendreieck un- 

 mittelber übertragen lassen, wenn man für jede Seite des Dreiecks einen 

 Richtungssinn und für jeden Winkel einen Drehungssinn vorschreibt. 



