Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 29 



Wenn wir nun gezeigt haben, dafs der Geltungsbereich unserer sechs 

 fundamentalen Relationen alle unsere Vierseite umfafst, so ist hiermit eine 

 Ausdehnung der Studyschen Entwicklungen nach zwei Richtungen hin vor- 

 genommen. 



Da bei der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie ein imaginärer 

 Kegelschnitt zu Grunde gelegt werden mufs, so würde die unmittelbare Er- 

 weiterung der Studyschen Entwicklungen darin bestehen, dafs man bei der 

 Theorie des Koordinatentetraeders nicht eine reelle Kugel, sondern eine 

 imaginäre Fläche zweiten Grades zu Grunde legt. Nur dann werden immer 

 sämtliche zwölf Mafszahlen reell. Der Studysche Dreiecksbegriff ist dann 

 auf das Koordinatentetraeder zu übertragen, indem man für jeden Ebenen- 

 winkel und jeden Seitenwinkel einen Drehungssinn und für jede Kante 

 einen Richtungssinn in geeigneter Weise vorschreibt. 



Die Erweiterung der Studyschen Entwicklungen nach der andern 

 Richtung hin besteht in der Übertragung dieser Theorie auf Koordinaten- 

 dreiecke und Koordinatentetraeder, bei denen ein reeller Kegelschnitt und 

 eine reelle Fläche zweiten Grades -der Mafsbestimmung zu Grunde gelegt 

 werden. Im Räume mufs dann noch die Mafsbestimmung auf geradlinigen 

 Flächen von der auf nicht geradlinigen unterschieden werden. Bei kon- 

 tinuierlicher Fortsetzung der imaginären Fundamentalgebilde in reelle bleiben 

 allerdings die algebraischen Relationen ungeändert bestehen, aber doch ist 

 dann noch zu untersuchen, was hierbei aus der Studyschen Gruppe und 

 unserer Gruppe wird, welche die Erweiterung der Studyschen Gruppe 

 darstellen würde; jetzt liegen die Realitätsverhältnisse komplizierter als bei 

 durchweg reellen Mafszahlen. 



An eine ähnliche Erweiterung bat offenbar auch Study gedacht, wie 

 man aus den Worten im Schlufs seiner Arbeit sieht: „Wird es möglich sein 

 (wie es durch verschiedene Umstände wahrscheinlich gemacht wird), die 

 Theorie des Tetraeders, zunächst im nichteuklidischen Räume, in ähnlicher 

 Weise zu behandeln, wie die des Dreiecks?" 



