W. Ihlenbnrg, Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogen Vierecke. 31 



Beduktions- und Erweiteriingsprozesse. 



Wir werden im folgenden von den „Reduktions- nnd Erweiterungs- 

 prozessen" der Kreisbogenpolygone Gebrauch machen (K). 



1. Wir erweitern ein Kreisbogenpolygon durch „polare Ein- 

 hängung" einer Kreisscheibe in folgender Weise: Wir führen von einer 

 Ecke aus nach einer gegenüberliegenden Seite einen Schnitt p (z. B. von 

 d nach ab, Fig. 5) und in einer Kreisscheibe, welche denselben Radius wie 

 der Begrenzungskreis ab besitzt, einen zu p kongruenten Schnitt p'. Dann 

 vereinigen wir Polygon und Kreisscheibe, indem wir beide Flächenstücke 

 aufeinanderlegen und die Ränder von p und i>' über Kreuz zusammenheften. 

 Jetzt ist ein neues Kreisbogenpolygon entstanden, in welchem ein Winkel um 

 die Zahl zwei gewachsen ist, und eine Seite um einen Umlauf zugenommen hat. 



Umgekehrt kann es auch möglich sein, sine Kreisscheibe polar aus- 

 zuhängen, worunter wir dann den entgegengesetzten Prozess verstehen. 



Damit von einer Ecke d einer Membran bezüglich der Seite ab der Be- 

 grenzung eine polare Einhängung möglich ist, ist notwendig und hinreichend, 

 dafs sich von d nach ab innerhalb der Membran ein Schnitt p ziehen lasse, 

 der ganz auf derselben Seite des Kreises ab verläuft wie die Membran und 

 keine in demselben Blatt oder verschiedenen Blättern sich kreuzenden 

 Zweige besitzt. 



2. Wir erweitern ein Polygon durch Einhängung einer Vollkugel 

 oder durch „diagonale Einhängung", indem wir zwischen zwei nicht 

 aufeinanderfolgenden Ecken einen Schnitt d ziehen, zwischen zAvei Punkten 

 einer Vollkugel einen zu d kongruenten Schnitt d', alsdann Polygon und 

 Vollkugel so aufeinanderlegen, dafs die Schnitte aufein anderfallen und dann 

 die Ränder der Schnitte kreuzweise vereinigen (Fig. 6). Die Umlaufszahlen 

 der Seiten bleiben umgeändert, zwei Winkel werden um die Zahl 2 vergröfsert. 



Umgekehrt kann es auch möglich sein, diagonal auszuhängen. 



Damit eine diagonale Einhängung möglich sei, mufs sich innerhalb 

 der Membran von einer Ecke nach einer nicht auf sie folgenden Ecke ein 

 Schnitt führen lassen, der keine in demselben Blatt oder verschiedenen 

 Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt. 



