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3. Wir erweitern ein Polygon durch Einhängung' eines Kreisringes 

 iiiler durch „transversale Einhängung", indem wir zwischen Polygon- 

 seiten, die sich imaginär schneiden, einen Schnitt t führen, in einem von 

 zwei Kreisen begrenzten Ringstück einen zu t kongruenten Schnitt V, und 

 wie bei 1. und 2. die Flächenstücke längs der Schnitte zusammenheften 

 (Fig. 7). Dabei mufs der Ring dem von den Kreisen der betreffenden beiden 

 Seiten begrenzten Ring kongruent sein. Die Winkel bleiben ungeändert, 

 aber die Umlaufszahlen von zwei Seiten werden um je 1 erhöht. 



Eventuell kann auch transversal ausgehängt werden. 



Damit eine transversale Einhängung möglich sei, dürfen die Kreise 

 der beiden Polygonseiten, zwischen denen eingehängt werden soll, sich nicht 

 reell schneiden und es mufs sich von einer Seite nach der anderen inner- 

 halb der Membran ein Schnitt ziehen lassen, der ganz innerhalb des von 

 beiden Kreisen begrenzten Ringes verläuft und keine in demselben Blatt 

 oder verschiedenen Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt. 



4. Wir erweitern ein Polygon durch ..laterale Anhängung" einer 

 Kreisscheibe, indem wir längs einer nicht umlaufenden Polygonseite die- 

 jenige Kreisscheibe, welche die auf dem Innern der Seite liegende Kreis- 

 scheibe zu einer Vollkugel ergänzt, einfach anheften (Fig. 8). Die Membran 

 liegt nach Anhängung der Kreisscheibe auf der anderen Seite des begrenzenden 

 Kreises, die anliegenden Winkel werden beide um 1 vermehrt, der begrenzende 

 Kreisbogen wird durch denjenigen Kreisbogen ersetzt, der ihn zu einer 

 vollen Peripherie ergänzt, Eventuell kann auch eine Kreisscheibe lateral 

 abgetrennt werden. Damit lateral angehängt werden kann, ist notwendig 

 und hinreichend, dafs die betreffende Seite nicht umlaufend ist. 



Ein zur Ausführung eines Erweiterungsprozesses zu ziehender Schnitt 

 darf auch andere Schnitte durchsetzen, wenn er nur die oben angegebenen 

 Bedingungen erfüllt. Hierzu ist folgendes Beispiel bemerkenswert. In das 

 Viereck der Fig. 9 sei diagonal eingehängt, was durch die Linie d angedeutet 

 ist. Jetzt scheint keine transversale Anhängung mehr möglich zu sein. Da 

 die Membran aber nach Einhängung der Vollkugel auch noch aufserhalb des 

 schattierten Gebietes verläuft, so ist t ein Schnitt, an dem entlang eine 

 transversale Einhängung möglich ist. Das Viereck hat dann zwei Windungs- 

 punkte und zwei einfach umlaufende Seiten. Man erhält dasselbe Viereck 



