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Kapitel II. 



Die Ergänzungsrelatioiien. 



§ 13- 

 Prinzip bei der Ableitung der Ergänzungsrelationen. 



Wir fragen, welches sind die Relationen, welche die Abhängigkeit 

 zwischen den Umlaufszahlen der Seiten eines Kreisbogenvierecks und den 

 AVinkeln darstellen? Wir zählen aber einen Umlauf erst dann, wenn die 

 ganze Peripherie auch wirklich durch den Bogen überschritten ist. 



Die Uralaufszahlen bezeichnen wir mit u a i,, u, JC , u cd , n.,„. 



Es bezeichnet im Dreieck mit den Ecken a, i, c und den Winkeln a, ß, y 



^f a-ß-Y+ l' 



die Umlaufszahl der dem Winkel a gegenüberliegenden Seite, wobei 

 E ( a - t - r ) diejenige gröfste ganze positive Zahl oder Null bedeutet, 



welche von - — ^— - überschritten wird.') 



Die für die Seiten dadurch gegebenen Uligleichheitsbedingungen 

 nennt man Ergänzungsrelationen. 



Lassen wir das Viereck, indem wir Ecken und Winkel festhalten, 

 durch Drehung der Seiten in eine Grenzlage übergehen, so kennt man also 

 für die in derselben entstehenden Dreiecke die Ergänzungsrelationen. Für die 

 Grenzlage lassen sich deshalb leicht die Beziehungen zwischen den Um- 

 laufszahlen der Seiten und den Winkeln aufstellen. Da nun beim Übergang 

 zum Viereck aber sowohl die Winkel, wie auch die Umlaufszahlen der Seiten 

 erhalten bleiben, gilt die erhaltene Relation ohne weiteres für das Viereck selbst. 



Indem wir an allen zu gegebenen Winkeln möglichen Grenzlagen 

 die Relationen aufstellen, erhalten wir die Ergänzungsrelationen für alle 

 Vierecke, welche zu gegebenen Winkeln existieren. 



Die Vierecke, welche aus Grenzlagen erster Art hervorgehen und 

 die Vierecke, welche aus Grenzlagen zweiter Art hervorgehen, behandeln 

 wir besonders. 



i) Klein, Math. Ann. 37, S. 585. 



