Über die geometrischen Eigenschaften der Kveisbogenviereeke. 59 



§ 14. 

 Die Ergäiizuiigsrelationeii der Vierecke, welche aus Grenzlagen 



erster Art entstehen. 



In der Grenzlage erster Art mögen sich ab und cd berühren. Wir 

 könnten nun in jedem Dreieck der Grenzlage die Umlaufszahlen für sich 

 zählen; da wir aber sogleich für die ganze Schar der Vierecke, die aus 

 der Grenzlage erster Art hervorgehen können, die Ergänzungsrelationen 

 ableiten wollen, müssen wir einen etwas anderen Weg einschlagen, denn 

 auf die angegebene Art ergibt sich nicht, wie die Umlaufszahlen der Vierecks- 

 seiten von dem Parameter der Grenzlage abhängen. 



Wenn wir aus der Grenzlage herausdrehen, so haben wir zunächst 

 ein Viereck vor uns, bei dem sich von ab nach cd hinüber transversale 

 Einhängungen machen lassen. 



Für die Vierecke, welche aus der Grenzlage erster Art entstehen, 

 müssen demnach dieselben Ergänzungsrelationen gelten wie für die Vier- 

 ecke, in die sich transversale Einhängungen machen lassen. Um die ver- 

 langten Ergänzungsrelationen zu finden, können wir also die Relationen 

 dieser Vierecke ableiten. Wir verfahren dabei folgendermafsen : 



Wir denken uns ein Viereck vorgelegt, in das sich von ab nach cd 

 transversale Einhängungen machen lassen und transformieren die Kreise ab 

 und cd in zwei konzentrische. 



Wir bewegen, indem wir einen Vierecksparameter auf die erste Weise 

 deuten, den Kreis bc. Die Bewegung ist nach einer Richtung hin unbegrenzt, 

 denn die Einhängung eines Kreisringes kommt jedesmal einem Herumführen 

 des Kreises bc um einen Vollkreis gleich. Bei der Bewegung nach der 

 andern Richtung tritt aber stets eine Grenzlage ein. Während das Viereck 

 sich in dieser Grenzlage befindet, berechnen wir die Umlaufszahlen. Dabei 

 erhalten wir zwar nicht die Umlaufszahlen für die Seiten des Ausgangs- 

 vierecks , denn bei der Bewegung des Kreises bc sind Umlaufszahlen der 

 Seiten ab und cd ev. verloren gegangen. Da wir aber die Bewegung von 

 bc genau kennen, lassen sich die verloren gegangenen Unilaufszahlen er- 

 mitteln, so dafs man die Relationen des vorgelegten Vierecks erhalten kann. 



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