( 58) 



afgeleid, waarbij aan de plaats van het gebruikte punt P geen enkele 

 beperking wordt opgelegd, en die dus doorgaat voor ieder punt P. 

 Aanvankelijk leggen we P nog de beperking op niet op de kromme 

 te liggen. Onderstel nu, dat P ligt op de raaklijn in een punt S der 

 kromme, waarin S een meervoudig punt of een enkelvoudig punt met 

 een meer dan 2-puntig snijdende raaklijn zijn kan. Snijdt de rechte 

 PS de kromme in w samenvallende punten S, terwijl een willekeurige 

 rechte door S de kromme in t samenvallende punten S snijdt, dan 

 telt S voor w — t der k eigenlijke raakpunten van raaklijnen uit P 

 aan de kromme, m. a. w. er naderen w — t raakpunten tot S als P 

 tot de raaklijn in S nadert. Het is hierbij onverschillig of de kromme 

 één dan wel meer takken door >S heeft, die aan SP raken, alsook 

 of de kromme al of niet nog takken door S heeft, die niet aan 

 SP raken. 



Het bovenstaande volgt onmiddellijk uit het volgende: 

 Theorema. Zij R een punt eener algebraïsche kromme, wier takken 

 door R alle dezelfde raaklijn l hebben, die de kromme in t-\-v samen- 

 vallende punten R snijdt, terwijl iedere andere rechte door R de 

 kromme in t 'punten R snijdt, dan absorbeert R v eigenlijke raak- 

 punten van raaklijnen uit P, als P op l buiten R ligt, ent -f- v eigen- 

 lijke raakpunten, als P in R valt *). 



l ) Voor een tak, die door één enkele PuiSEUx'scbe reeksontwikkeling kan worden 

 voorgesteld, kan dit theorema o. a. bewezen worden uit het verband, dat er 

 tusschen de ontwikkelingen op punt- en op lijncoördinaten bestaat. Door optelling 

 volgt dan onmiddellijk hetzelfde theorema voor meerdere takken, die dezelfde raaklijn 

 hebben. In een opstel getiteld: „Een realiteitsvergelijking voor bestaanbare en 

 oübestaanbare vlakke krommen met hoogere singulariteiten." {Deze verslagen van 

 19 Maart 1904 p. 845) heb ik van hetzelfde theorema gebruik gemaakt (p. 846), 

 en voor de afleiding verwezen naar Stolz, Zeuthen en Stephen Smith. Ik heb toen 

 echter verzuimd ook aan te halen: G. Halpren, Mémoire sur les points singuliers 

 des courbes algébriques planes. Mémoires prés. par divers savants d V Académie 

 des Sciences (2) t. 26 (1879) n°. 2 (112 p.). Dit omvangrijke stuk is reeds in 

 April 1874 aan de Parijsche Academie aangeboden (zie: Comptes Bendus de 

 V Académie des Sciences de Paris t. 78 p. 1105—1108, waar door den schrijver 

 eenige resultaten zijn medegedeeld), zoodat daaraan de prioriteit toekomt. Halphen 

 geeft aan het theorema een eenigszins andere, n.1. de volgende formuleering 

 (1. c. Théorème III p. 42 of ïhéorème II p. 50): 



Théorème. La somme des ordres des contacts des branches d'une courbe avec 

 une de ses tangentes est egale d la multiplicité du point correspondant d cette 

 tangente dans la courbe corrélative. 



Het verband tusschen de reeksontwikkelingen van een tak op punt- en op lijn- 

 coördinaten is het eerst opgezocht door A. Gayley (On the Higher Singularities 

 of a Plane Gurve. Quart Journ. of Math. Vol. 7 (1866) p. 212, Gollected Math. 

 Pap. Vol. 5 p. 520 of Note sur les singularités supérieures des courbes planes 

 Crelle's Journal. Bd. 64 (1865) p. 369, Coll. Math. Pap. Vol. 5 p. 424). Is 



