( 59) 



Is nu S een dergelijk punt, waar alle takken dezelfde raaklijn 

 SP hebben, dan is iv = t-\-v, terwijl volgens bovenstaand theorema 

 S voor v=w — t raakpunten van raaklijnen uit P telt. Gaan erdoor 

 S behalve de aan SP rakende takken nog andere takken, dan geven 

 deze laatste takken tot geen nieuwe in S vallende raakpunten aan- 

 leiding; ze doen echter de getallen t en w evenveel toenemen, zoo- 

 dat ze w — t onveranderd laten. Ook dan stelt dus nog w — t het aantal 

 raakpunten voor, die tengevolge van de bijzondere ligging van Pin 

 S vallen. 



Ligt P niet op een der raaklijnen in S, dan is w = t, zoodat dan 

 w — t nog steeds het aantal (n. 1. nul) der in S vallende raakpunten 

 voorstelt. 



Is S een raakpunt van een raaklijn uit P, waarbij zich niets 

 bijzonders voordoet, dan is daarvoor t = 1 en w ==. 2, zoodat 

 iv — t = 1 is, terwijl S nu ook voor één raakpunt telt. 



Sommeert men dus w — t over alle punten S der kromme, waar- 

 voor w^>t is, dan krijgt men steeds als som h voor ieder niet op 

 de kromme gelegen punt P, dus 



k=2(w 1 — t i ) . (1) 



We formuleeren dit aldus : 



Theorema I. Zij P een niet op een algebraïsche kromme gelegen 

 punt en S een willekeurig punt dier kromme. Onderstel dat de 

 kromme de rechte PS in iv, een ivillekeurige rechte door S daar- 

 entegen in t samenvallende punten S snijdt, dan is de klasse der 

 kromme gelijk aan w — t gesommeerd over alle punten S der kromme, 

 waarvoor iv^> t is, en over zooveel andere punten der kromme als 

 men wil. 



Vervolgens onderstellen we, dat P op de kromme ligt, en wel 

 in een punt van den graad t', d. w. z. dat t' het kleinste aantal in 

 P vallende snijpunten der kromme met een rechte door P is. Voor 

 een niet in P vallend punt S der kromme wordt nu nog steeds 

 het aantal in S vallende raakpunten door iv — t aangegeven. Boven- 



y = A xp + B xi + . . . . (p > 1) de ontwikkeling op puntcoördinaten, dan geeft 



Cayley voor de ontwikkeling op lijncoördinaten op Z= A' Xp— 2 -\-B' X p— l -f- ... 



waarin de algemeene vorm der exponenten ' ^ - — ~ is; hierin zijn A, ^, . .. 



geheele positieve getallen. Impliciet ligt hierin het HALPHEN'sche theorema opge- 

 sloten. Cayley gaat echter niet verder op het verband der reeksontwikkelingen in 

 en spreekt het theorema niet uit. 



Ten slotte zij nog vermeld, dat het theorema ook is uitgesproken door M. Nöther, 

 Ueber die singularen Werthsysteme einer algebraischen Function und die singularen 

 Punkte einer algebraischen Curve. Math. Annalen Bd. 9 (1876) p. 166 (spec. p. 182). 



