(60) 



dien vallen er echter eenige raakpunten in P, en wel volgens het 

 HALPHEN'sche theorema ten getale van t' -\- -2" v\, waarin 2 v\ een 

 sommeering over de verschillende raaklijnen der kromme in P 

 voorstelt, die de kromme in t -\- v\, t' + v \> • • • • samenvallende 

 punten P snijden. Men krijgt dus : 



k = f + 2y l t +.-2(w } — t l ), (2) 



waarin JE {u\ — t x ) een sommeering over alle buiten P gelegen 

 punten S der kromme voorstelt. 



Men kan echter ook het punt P onder de punten S opnemen. 

 De verbindingslijn PS wordt dan onbepaald. Neemt men voor PS 

 een lijn, die geen raaklijn in P is, dan is w = t'. Kiest men 

 echter voor PS een in t' -f- v x ' samenvallende punten P snijdende 

 raaklijn, dan is w = t' '4- v\', dus w — t' = y/. Voor (2) kan dus 

 ook geschreven worden 



k = t' + 2{w l — t 1 ), (3) 



mits men de sommeering ook over een in P zelf gelegen punt S 

 uitstrekke, waarbij men dan voor PS alleen die rechten door P te 

 nemen heeft, die een bijdrage leveren (dus de raaklijnen in P), en 

 zooveel andere rechten door P als men wil. 



Van de vergelijking (3) is (1) een bijzonder geval. Ligt n.1. P 

 niet op de kromme, dan heeft iedere rechte door P nul snijpunten 

 P met de kromme, m. a. w. P is een punt van den nulden graad 

 der kromme, dus t' = 0. Het resultaat van al onze beschouwingen 

 ligt dus in de vergelijking (3) opgesloten. 



We formuleeren dit aldus : 



Theorema. II. Zij P een punt van den graad t' eener algebraïsche 

 kromme (waarbij t' ook nul zijn kan), en S een willekeurig punt van 

 den graad t dier kromme. Onderstel dat de rechte P S de kromme 

 in w samenvallende punten S snijdt, dan is de klasse der kromme 

 gelijk aan t' vermeerderd met w — t over alle punten S der kromme 

 gesommeerd. Ligt S in P, dan heeft men alle rechten door P als de 

 verbindingslijn P S te beschouwen. 



Wanneer we spreken van alle punten S of, als S in P ligt, van 

 alle rechten door P, is de bedoeling dat we die punten of rechten 

 nemen, die een bijdrage tot 2 (w x — t x ) opleveren, en zooveel andere 

 punten of rechten als men wil. 



Van dit theorema II is het theorema I een bijzonder geval (t = 0). 

 Het theorema gaat steeds door, welke singulariteiten de kromme ook 

 moge bezitten. 



Sneek, Mei 1904. 



