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wo b und h zwei positive ganze Zahlen sind und ohne Beschran- 

 kung der Allgemeinheit h<^b angenommen werden kann. Seine 

 Untersuchung ist j edoch nur in heuristischem Sinne zu verstehen; 

 sie liefert nicht den Beweis, dass die Reihe (1) convergiert, d.h. dass 

 für jedes Wertepaar b, h 



z 



hm > (2) 



z=oo <£** mb-\-h 



existiert. *) 



Die Methoden, welche ich in der Abhandlung 2 ) „über die Prim- 

 zahlen einer arithmetischen Progression" angewendet habe, gestatten 

 jedoch, diesen Beweis zu führen. Das soll in den § § 2 — 7 des 

 Folgenden geschenen, nachdem in § 1 einige bekannte Satze in 

 Erinnerung gebracht sind; zugleich ergiebt sich eine Darstellung des 

 Grenzwertes (2), d. h. der Summe der unendlichen Reihe (1) in ge- 

 schlossener Form. In den §§ 8—9 wird eine Folgerung über die 

 Verteilung der Zahlen einer arithmetischen Progression, für welche 

 H (n) = -f- 1 bezw. — 1 ist, gezogen ; dieselbe rechtfertigt eine von 

 Herrn Kluyver am Schlnsse seiner Arbeit ausgesprochene Vermutung. 



§ 1. Es seien Xi ( w )> X 2 ( w )> • • • > X?(ó) (n) die <p(b) Charaktere 

 der Gruppe der zu b teilerfremden Restklassen modulo b; davon 

 bezeichne x x (n) den Hauptcharakter. Wenn n mit b einen gemein- 

 samen Teiler hat, moge unter Xi( w )> X 2 ( w )> ■ • > W>) ( n ) Null ver- 

 standen werden. Es bedeute ferner L v (s) für v = 1, 2, . . . , <p(b) die 

 durch die DmicHLET'sche Reihe 



y* Xv (n) 



71=1 



definierte analytische Function. Diese Reihe convergiert bekanntlich, 



falls v = 1, für m (s) > 1, und falls v = 2, . - . . , <p(b), für tt (s) > 0. 



Aus der für 3v (s)^>l und jedes v (= 1, . . . , y(6)) giltigen Gleichung 



w Z^ n< 11 xvW ' (d) 



!) Nur im Falie b = l, h=l war dies schon bekannt, und daraus lasst sich, 

 wie Herr Kluyver am Anfang seiner Arbeit aüsführt, unmittelbar die Richtigkeit 

 der Behauptung für beliebiges b und h = b einsehen, nicht aber im allgemeinen 

 Fall. 



2 ) Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, 

 mathematisch-naturwissenschafüiche Klasse, Bd. 112, Abt. 2 l , 1903, S. 493—535, 



