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wo p alle Primzahien durehlauft, folgt, dass kein L v (s) eine Null- 

 stelle triit reellem Teil > 1 besitzt. (3) ergïebt für v = 1 



m-> = n ^n HrH« n K4-) ■ w 



p 1-- P /b P lb / 



wo j) alle Primfactoren von b durehlauft. Aus (4) folgt, dass L x (s) 

 über die Gerade ïK (s) = 1 fortsetzbar ist und in 5 = 1 einen Pol 

 besitzt, so dass 



lim-L-Q (5) 



s =i L x (s) 



ist. 



Dirichlet *) hat ferner die Grossen 



L * l 1 ) = > v • • • ■ i L #) v 1 ) = > 



in endlicher Form durcli Logarithmen und trigononietrische Functionen 

 dargestellt und — was daraus noch keines wegs folgte — ausserdem 

 bewiesen, dass jene q>(b) — l Grossen samtlieh von Null verschieden 

 siud. Also sind die Grenzwerte 



1 1 .1 1 

 Urn =r , . . . , Urn = ... (6) 



vorhanden. 



Die Herren Hadamard und de la Vallee Poussin haben bewiesen, 

 dass kein L v (s) auf der Geraden iR (s) — 1 eine Nullstelle besitzt, 



so dass - — - für jedes v auf der Geraden 3? (s) == 1 regular ist. Ich 



Lj (s) 



habe a. a. O. 2 ) den weitergehenden Satz bewiesen: Es giebt eine 

 positive Zahl «, so dass, s = g -f- ti gesetzt, in dem Gebiet 



*>3, 1-- <o<2 



= locfH = 



jede der ip (b) Functionen Z v (s) ven Null verschieden ist und die 

 Ungleichung 



1 ) ,,Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren 

 erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, 

 unendlich viele Primzahien enthalt", Abhandlungen der Königlich Preussischen 

 Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1837, S. 45—71; Werke, Bd. 1, 1889, 

 S. 313-342. 



2 ) ï.c, S. 521. Ich setze hier die gró'ssere der beiden a. a. 0. mit c u und c 31 

 bezeichneten Zahlen = et. 



