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L,m 



<C %* t 



erfüllt. 



$ 2. Ich bezeichne nunmehr mit Mb,h {s) diej enige analytische 

 Function, welche durch die mindestenè für o = ?v (s) ^> 1 convergente 

 DmiCHLET'sclie Reihe 



00 



V ^(mb + I 1 ) 



definiert ist, und zeige zunachst, dass Mb,h (s) in einen sehr einfachen 

 Zusammenhang mit den Functionen 7>, (s) gebracht werden kann. 



Der grösste gemeinsame Teiler (h, h) vön b und // werde = d 

 gesetzt. O line Beschrankung der Allgemeinheit kann d als quadrat- 

 frei angenommen werden; deun anderen falls ist stets \i (mb -f- h) = O, 

 also jedes Grlied der unendlichen Reihe (1) gleich Null. 



I. Es sei znnachst d=l, also h zu h teilerfremd. Dann giebt 

 es eine (modulo b bestimmte) ganze Zahl h Xi für welche 



h x h ~ 1 (mod. b) 



ist. Nun folgt aus (3) für o = ft (*) > 1 



Multipliziert man (7) mit x* Uh) un( ^ summiert über alle Werte 

 von v, so ergiebt sich 



?(&) ?(>>) oo oo ?0) 



xr* Xv(*i) v^ //iv Xv 00^00 v^ K n )\^ M „ > , ö . 



> ^TT—Z^Xv^i) > ■ — == > — V rf ( ,4 • ( 8 ) 



Nun ist nach der Fundamentaleigenschaft der Charaktere die 

 Summe 2 /., (/) dann und uur dann von Null versehieden, und 



v=l 



zwar == (f(b), wenn l~l (mod. b) ist; dalier 



^-^ i = <p (/>), falls A x h z= 1, d.'h. -w — A (mor/, è) 



2^ ft ( i, ») j __ ^ Mlg ^ n e |_ ^ d> h> ^ _|_ h ^ noch ^ 



v== l 



ist; (8) verwandelt sich also in 



m 



wenn noch mit Hilfe von 



