( 129 ) 



de raoMijn en de getallen t en v den graad en de klasse van den 

 tak, waarbij dus elk willekeurig punt eener kromme als oorsprong 

 van minstens één tak kan worden opgevat, voor welke dan echter, 

 indien liet punt een gewoon punt der kromme is, t gelijk 1 zal 

 zijn. Is eenzelfde punt der kromme oorsprong van meerdere takken, 

 dan beschouwen we dit punt achtereenvolgens als tot de verschillende 

 takken behoorend. 



De HALPHEN'sche betrekking is een onmiddellijk gevolg van de 

 RiEMANN'sche, als men slechts de vertakkingspunten splitst in die 

 welke niet en in die welke wel van de keus van het coördinaten- 

 stelsel afhangen. 



Zijn t\ , t'. 2 , . . . de graden, v\ , v\ , . . . de klassen der afzonderlijke 

 takken, die hun oorsprong in P hebben (zoodat 2' t\ = t is), dan is 



2 0/-1) = k-2n + 2 (t\-l) + 2 fe-1), 

 terwijl volgens het geciteerde theorema 



h = 2 (t\ + c\) + 2 (w-tj (verg. (2) 1. c. p. 60) 

 is. In de beide laatste vergelijkingen heeft het eerste ^-teeken op 

 de in P vallende oorsprongen, het tweede ^-teeken op de buiten P 

 vallende oorsprongen betrekking. 



Uit deze vergelijkingen volgt 



2 (g-l) = - 2 (n-t') + 2 (v\-\) + 2 (w-\) (I) 



Hierin stelt n — t' = ri het aantal beweeglijke snijpunten van de 

 kromme met door P gaande rechten voor. Trekt men door P een 

 willekeurige rechte l{, die geen raaklijn in P is, dan leveren de 

 snijpunten dier rechte met de kromme een bijdrage tot 2 (w l — 1), 

 die gelijk is aan n'—.Xi, waarin JVi het aantal oorsprongen van 

 takken voorstelt : ), die buiten P op de rechte l t liggen, dus het 

 aantal takken, waarover de n' beweeglijke snijpunten met de rechte 

 li zich verdèelen. Trekt men vervolgens door P een rechte l J} die 

 aan JY'j takken door P raakt, en zij N~j het aantal takken, waarover 

 de ri beweeglijke snijpunten met de rechte Ij zich verdèelen, dan 

 hebben Nj — X'j van deze Nj takken hun oorsprong buiten P. De 

 buiten P gelegen snijpunten met deze rechte leveren een bijdrage 

 tot 2 (io 1 — 1), die gelijk is aan 



{ n'-2 v'j) - (Nj-N'j) = (n'-Nj) - 2 (vj'-l), 

 waarin 2 v'j en 2 (v'j — 1) alleen genomen zijn over de aan de 

 rechte Ij in P rakende takken. Hieruit volgt : 



2 K-l) = 2 (n'-Ni) + 2 (n<-Nj) - 2 (v'-l), 

 of 



l ) Hierbij dus ook de gewone snijpunten ieder als oorsprong van een tak 

 medetellende. 



