( 130 ) 



2 (w-1) = Sin'-Nj - 2 (<-l), 



waarin nu 2 (v\—l) een sommeering beteekent over alle takken 

 met P als oorsprong, 2 (n' — X x ) een sommeering over alle rechten 

 door P, waarvoor ri > N 1 is, en over zooveel andere rechten als 

 men wil. 



Substitueert men de gevonden waarde voor 2 (n^ — l) in verge- 

 lijking (1) en vervangt men n — t' door n' , dan vindt men 



? = i-rf ; +lïi,i'-^. ...... (2) 



We kunnen het gevondene tot het volgende theorema samenvatten : 



Theorema I. Wordt een algebraïsche vlakke kromme door de 

 rechten van een bundel met P als drager in n' beweeglijke punten 

 gesneden, die zich voor de verschillende rechten van den bundel over 

 N x , jV" 2 ,... takken der kromme verdeden, dan heeft 1 — n'-f- \^(n! — N x ) 

 (waarin 2 (n' — Nj) genomen is over alle rechten door P) voor ieder 

 punt P dezelfde waarde, die gelijk is aan liet geslacht der kromme. 



Dit theorema kan echter nog aanmerkelijk worden uitgebreid door 

 gebruik te maken van de eigenschap, dat het geslacht der kromme 

 niet verandert bij een eenduidige transformatie. Past men n.1. op de 

 geheele figuur een Cremona'scIic transformatie toe, dan blijft g 

 dezelfde, maar ook n' . De rechten van den bundel gaan door de 

 transformatie over in unie arsaalkr ommen, die in de fundamentaal- 

 punten der transformatie meervoudige punten hebben. Door ieder 

 buiten die fundamentaalpunten gelegen punt gaat slechts één der 

 umcursaalkrommen, zoodat we met een bundel unica rsaalkrom men 

 te doen hebben ; hierbij zijn de meervoudige punten, die de krommen 

 tot unicursaalkrommen maken, niet in beweeglijke maar in vaste 

 punten aanwezig, hetgeen tot lineaire betrekkingen tusschen de coëf- 

 ficiënten der krommen aanleiding geeft. De beweeglijke snijpunten 

 met een rechte worden nu tot beweeglijke snijpunten met een unicur- 

 saalkromme getransformeerd, en blijven wegens de eenduidigheid der 

 transformatie gelijk in aantal. 



Bij een ÜREMONA'sche transformatie wordt verder steeds een tak 

 der kromme tot één enkelen tak getransformeerd (waarbij steeds 

 onder een tak te verstaan is het geheel van de punten der kromme, 

 wier coördinaten aan eenzelfde PuiSEUx'sche reeksontwikkeling voldoen). 

 Yerdeelen zich dus de n' beweeglijke snijpunten met een rechte over 

 N takken, dan vercleelen zich in cle getransformeerde figuur de n' 

 beweeglijke snijpunten met de door transformatie der rechte ontstane 

 unicursaalkromme eveneens over iV takken. 



Hieruit blijkt dus, dat alle in vergelijking (2) voorkomende groot- 

 heden invariant zijn tegenover rationale transformaties, zoodat de ver- 



