(131 ) 



gelijking (2) onveranderd blijft doorgaan, ah men den bundel rechten 

 door een bundel unicursaalkrommen vervangt. 



Dit geeft dus tot liet volgende theorema aanleiding : 



Theorema II. Wordt een algebraïsche kromme door een bundel 

 unicursaalkr ommen in n' beweeglijke punten gesneden, die zich voor 

 de verschillende krommen van den bundel over JS r x , N~ 2 , . . . . takken 

 der vaste kromme verdeelen, dan heeft 1 — n' -f- \ 2 (n/ — ^.Vj 

 (waarin 2 (n' — X x ) genomen is over alle krommen van den bundel J 

 voor lederen bundel unicursaalkrommen dezelfde waarde, die gelijk is 

 aan liet geslacht der vaste kromme. 



Dit theorema kan verder nog van een bundel unicursaalkromnien 

 worden uitgebreid tot een willekeurigen algebraïschen krommenbundel 

 door middel van de volgende overleggingen, die echter minder streng 

 zijn dan de voorafgaande beschouwingen. 



Gaat men na welke unicursaalkrommen uit het theorema II een 

 bijdrage tot 2 {u' — X x ) opleveren, clan zijn dit l ste die unicursaal- 

 krommen, die door een buiten de basispunten van den bundel gelegen 

 oorsprong van een superlineair en tak (benaming vau Cayley voor 

 een tak, waarvan de graad grooter dan één is) der vaste kromme 

 gaan, 2 de die unicursaalkrommen, die de vaste kromme buiten de 

 basispunten aanraken, 3 de die unicursaalkrommen, waarbij twee of 

 meer der beweeglijke snijpunten langs den zelfden tak der vaste kromme 

 tot een der basispunten genaderd zijn. In hoofdzaak komt dus het 

 theorema II neer op de bepaling van het aantal unicursaalkrommen 

 van een bundel, die een gegeven kromme aanraken, en de verande- 

 ring, die dit aantal ten gevolge van hoogere singulariteiten der gege- 

 ven kromme en de bijzondere ligging der basispunten ten opzichte 

 dier kromme ondergaat. Hierbij kan het echter moeilijk verschil 

 opleveren of we met een bundel unicursaalkrommen dan wel met 

 een willekeurigen krommenbundel te doen hebben ; in beide gevallen 

 voldoen toch de coëfficiënten van de vergelijking der beweeglijke 

 kromme aan eenige lineaire voorwaarden ten getale van één minder 

 dan voor de bepaling der beweeglijke kromme noodig is l ). 



Lichten Ave het voorgaande nog door een voorbeeld toe. Onderstel, 

 dat gevraagd wordt het aantal kubische krommen door 8 gegeven 

 punten te bepalen, die een gegeven kromme aanraken. Onderstel 

 verder, dat de gegeven kromme een singulier punt S met een singu- 



a ) Een andere zaak zou het natuurlijk zijn, als aan de beweeglijke kromme de 

 voorwaarde was opgelegd unicursaal te zijn, zonder dat de bijzondere punten, die 

 het geslacht tot nul neerdrukken gegeven waren ; als er dus b.v. sprake was van 

 kubische krommen door 7 gegeven punten en voorzien van een (niet gegeven) 

 dubbel punt. 



10 



Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XIII. A°. 1904/5. 



