( 132 ) 



liere raaklijïi / heeft, en dat de door 'S gaande f\ van den bundel 

 tevens aan / raakt. Het punt S zal dan een zeker aantal eigenlijke 

 raakpunten met krommen van den bundel absorbeeren, en dit aantal 

 zal afhangen van den aard van het singuliere punt S en van de orde 

 van aanraking, die de C 3 aan de gegeven kromme vertoont, maar 

 geenszins van het feit of er van de basispunten ergens buiten >Sdrie 

 zijn samengevallen, hetzij zoodanig dat in een der basispunten raaklijn 

 en kromming gegeven is, of zoo dat de samenvallende basispunten een 

 driehoek met eindige hoeken vormen, in welk geval de voorwaarde 

 Aan het gaan door de drie basispunten in zich sluit dat de kromme 

 in een gegeven punt een dubbelpunt heeft en derhalve unicursaal is. 



Door bovenstaande overwegingen geleid meen ik het volgende 

 theorema te kunnen opstellen : 



Theorema III. Wordt een algebraïsche kromme door' een kro milieu- 

 bundel in n' beweeglijke punten gesneden, die zich voor de verschillende 

 krommen van den bundel over Hf l3 iV^ . -. .. takken der vaste kromme 

 verdeelen, dan heeft 1 — n' -f- \ 2 (ra' — N x ) {2 (n' -- JV^) genomen 

 over alle krommen van den bundel) voor lederen krommenbundel 

 dezelfde waarde, die gelijk is aan het geslacht der vaste kromme. 



Daarbij is liet eigenaardige van de gevonden uitdrukking voor 

 het geslacht daarin gelegen, dat het geslacht, dat invariant is tegen- 

 over rationale transformaties, nu ook werkelijk is uitgedrukt uitslui- 

 tend in grootheden, die ieder op zichzelf tegenover rationale trans- 

 formaties invariant zijn. 



Tot het opstellen van het bovenstaande theorema meen ik te meer 

 gerechtigd te zijn, daar ik in verschillende eenvoudiger gevallen het 

 theorema bevestigd gevonden heb, t. w. voor het geval dat de gegeven 

 kromme slechts dubbelpunten en keerpunten vertoont, terwijl de basis- 

 punten iedere bijzondere ligging ten opzichte der gegeven kromme 

 kunnen aannemen, alsook voor liet geval, dat de gegeven kromme 

 van hoogere singulariteiten voorzien is, waarbij dan echter slechts 

 de eenvoudigste bijzondere gevallen omtrent de ligging der basispunten 

 beschouwd zijn, b.v. het geval dat een of twee basispunten in een 

 hooger singulier punt vallen. Dit neemt echter niet weg, dat een 

 streng en eenvoudig bewijs, dat een subtiele onderscheiding van het 

 groote aantal bijzondere gevallen, die zich voor kunnen doen, over- 

 bodig maakt, zeer gewenscht ware. 



Sneek, Juni 1904. 



