( 133 ) 



Wiskunde, — De beer Korteweg biedt eene mededeeling aan van 

 den Heer Fred. Schüh : „Over de krommen van een bundel, 

 die een vlakke algebraïsche kromme met hoogere singulariteiten 

 aanraken." 



(Mede aangeboden door den Heer P. H. Sghoute). 



In het voorafgaande opstel heb ik liet volgende theorema opgesteld: 



Wordt een algebraïsche vlakke kromme door een krommenbundel 

 in n' beweeglijke punten gesneden, die zich voor de verschillende 

 krommen van den bundel over JVj, jV 2 , . . . takken der vaste kromme 

 verdeden, dan heeft 1 — n' ~\- h ^ (n — JV^) (.2 (n' — X x ) genomen 

 over alle krommen van den bundel) voor lederen krommenbundel 

 dezelfde waarde, die gelijk is aan het geslacht g der vaste kromme. 



In formule uitgedrukt luidt dit : 



2 (g + n' - 1) = S (n' - N,) (1) 



Met behulp van dit theorema kan het volgende aanrakingsprobleem 

 worden opgelost : 



Het aantal krommen van een bundel te bepalen, die een vlakke 

 kromme C n van den graad n, de klasse k en het geslacht g aanraken. 



Daartoe vervangen we in vergelijking (1) eerst J£ (n' - — JV^) door 

 een sommeering over de punten van C n , of liever (daar we een 

 punt van C n , waar meerdere takken doorheen gaan, steeds als 

 meerdere punten in rekening brengen) over de oorsprongen van 

 takken van C n . Zij S een oorsprong van een tak van C n , terwijl 

 de door S gaande kromme van den bundel den beschouwden tak 

 in w punten S snijdt, dan is 2 (n' — JV^) = 2 (w x — 1), zoodat de 

 vergelijking (1) wordt 



2 (g + n' - 1) = v fa - 1) (2) 



Hierin stelt J^ (u\ — 1) een sommeering over alle oorsprongen S 

 van takken van C n voor, dus eigenlijk alleen over die oorsprongen, 

 waarvoor w ^> 1 is. Liggen er een of meer basispunten van den 

 bundel op C n , dan moet de sommeering ook worden uitgestrekt over 

 die oorsprongen, die in een basispunt B vallen. Als beweeglijke 

 kromme door dien oorsprong moet dan beschouwd worden de 

 limietstand der beweeglijke kromme door P als men P langs den 

 bijbehoorenden tak van C n tot B laat naderen, m. a. w. die kromme 

 van den bundel, die den tak minstens in één punt B meer snijdt 

 dan een willekeurige kromme van den bundel. Voor zulk een in B 

 vallenden oorsprong stelt dan w het aantal beweeglijke snijpunten 

 voor, die langs den beschouwden tak tot B naderen als P langs 

 dienzelfden tak tot B nadert, 



10* 



