( 134 ) 



Nu bestaat tnsschen graad, klasse en geslacht van Cn de volgende 

 bekende betrekking : 



2 {g + n— 1) = 2 (*, - 1) f k . . . . . . (3) 



Hierin is 2 (/ x — 1) een sommeering over alle oorsprongen van 

 takken van C u , terwijl t den graad van den tak voorstelt, d. i. het 

 aantal in zijn oorsprong vallende snijpunten met een willekeurige 

 rechte door dien oorsprong. 



Uit (2) en (3) volgt dan: 



2(u- 1 -t 1 ) = k+2(n'-n) (4) 



TheoreMx\ I. Snijdt een kromme nbund el een vlakke algebraïsche 

 kromme C n van den graad n en de klasse k in n' beweeglijke punten, 

 waarvan er w in den oorsprong S van een tak van den graad t van 

 C n vallen, dan bestaat de betrekking 2 {iv 1 — t x ) = k + 2 (n' — n), 

 waarin ^ (iv\ — t x ) genomen moet worden over alle oorsprongen van 

 takken van Cn, ook over die welke in basispunten van den bundel 

 vallen. 



Met de vergelijking (4) is, zooals blijken zal, het gestelde aanrakings- 

 probleem voor iedere C n en iedere bijzondere ligging der basispunten 

 ten opzichte van C n als opgelost te beschouwen. 



Het komt er slechts nog op aan de gevonden vergelijking te bedis- 

 cussieer en. 



Is m de graad der krommen van den bundel, dan is bij wille- 

 keurige ligging der basispunten ten opzichte der gegeven kromme 

 C n n' == mn, dus : 



2"K- t 1 ) = k + 2n(m~r-l) ...... (5) 



Hierbij is onder een willekeurige ligging ten opzichte van C n in de 

 eerste plaats te verstaan, dat de basispunten niet op C n liggen. 

 Onderstellen we verder, dat de basispunten zoo liggen, dat geen 

 enkele kromme C m van den bunder, gaande door een bijzonder punt 

 S van C n , een der takken door S aanraakt, en dat geen enkele C m 

 de vaste kromme meer dan 2-puntig aanraakt, dan leveren alleen de 

 krommen C m , die een gewone aanraking aan C n vertoonen {tv == 2, 

 t — l), een bijdrage tot IE (u\ -- t x ), die gelijk is aan het aantal dier 

 rakende krommen C m . Hierbij dient echter nog een restrictie gemaakt. 

 Het kan ii-.l. voorkomen, dat een C m van den bundel een dubbel- 

 of meervoudig punt heeft, dat op C n ligt, hetgeen dan een bijdrage 

 tot 2 (n\ -- t>) oplevert. Dit geval kan men ontgaan door bij een 

 willekeurige ligging der basispunten ten opzichte van C n te verlangen, 

 dat geen bijzonder punt van C m op C n ligt. Dit is echter niet meer 

 mogelijk als er door het samenvallen van basispunten onderling onder 

 de krommen van den bundel zijn, die een oneindig aantal dubbel- 



