(135) 



of meervoudige punten vertoonen, m. a. w. als de bundel krommen 

 bevat, die uit twee of meer samenvallende gedeelten bestaan. Hoewel 

 óp deze gevallen de vergelijking (3) nog steeds van toepassing is, 

 zullen we ze echter bij onze discussie eenvoudigheidslialve uitsluiten. 

 Met deze onderstellingen is dus 2 (tt\ — ^) gelijk aan liet aantal 

 krommen van den bundel, die C n aanraken. We vinden dus het 

 volgende theorema: 



Theorema II. Van een handel krommen van den m den graad, die 

 geen van alle uit twee of /neer samenvallende gedeelten bestaan, is 

 het aantal krommen, die een vlakke algebraïsche kromme C n van de 

 klasse Ie, ten opzichte waarvan de basispunten van den bundel geen 

 bijzondere ligging hebben, aanraken, gelijk aan k + 2 // (/// — 1). 



Is de C n punt-algemeen, dan is k = n (n — 1) en het gezochte aantal 

 dus n (n + 2 m — 3). Vergelijkt men dit met het in bovenstaand 

 theorema genoemde aantal, dan vindt men : 



Theorema III. Ieder singulier punt S van Cn vermindert het aan- 

 tal krommen van den in theorema 1 f genoemden bundel, die C n eigen- 

 lijk aanraken, met hetzelfde getal als waarmede S de klasse van Cn 

 vermindert. 



Vervolgens gaan we na welke bij zonderheden zich voor kunnen 

 doen ten gevolge van een bijzondere ligging der basispunten ten op- 

 zichte van C n - Daartoe beschouwen we in de eerste plaats een niet 

 in een der basispunten gelegen oorsprong S van een tak T van den 

 graad t» van C n , en onderstellen, dat de door S gaande kromme van 

 den bundel den tak T aanraakt en in u; = t -\- y samenvallende 

 punten S snijdt (dus in y punten meer, dan Avanneer de door S gaande 

 kromme van den bundel dien tak niet aanraakte), dan telt dit punt >S' 

 (voor zoo ver den tak T aangaat) blijkens (5) voor w — t — y eigenlijke 

 raakpunten. Herstellen we door een kleine verplaatsing der basis- 

 punten hunne willekeurige ligging ten opzichte van C„, dan snijdt 

 de door S gaande kromme van den bundel den tak T in t punten 

 S en in y dicht bij S gelegen punten. Het voorgaande blijft onver- 

 anderd doorgaan als de bundel wel uit twee of meer samenvallende 

 gedeelten bestaande krommen bevat, mits die slechts niet door het 

 beschouwde punt S gaan. 



Dit geeft tot het volgende theorema aanleiding : 



Theorema IV. Zij S de oorsprong van een tak T eener algebraïsche 

 vlakke kromme C n . Naderen de basispunten van een krommen- 

 bundel van uit een willekeurig en stand tot een bijzonderen stand, zoo- 

 danig dat er geen basispunt tot S nadert, terwijl er y snijpunten van 

 C n met de door S gaande kromme van den bundel langs den tak T 

 tot S naderen, dan naderen er even zoo vele {dus y) raakpunten van 



