( 137 ) 



v {Wi _ tl ) = /• + 2n (m - 1) - 2 {w\ + 2 *\ - t\), ■ - (6) 



waarin 2 (u\ — t x ) nu alleen over de bulten S gelegen punten der 

 kromme genomen moet worden. Stelt men het aantal w\ -f- z\ der 

 punten S, waarin de tak T\ door de osculeerende kromme van den 

 bundel gesneden wordt, dooi' u\ voor, dan wordt de vergelijking (6): 

 v (t0j _ y = /, + 2 „ (n - 1>- JS („', + *', - t\). 



Uit deze vergelijking blijkt, dat het punt S, wat den tak T\ aan- 

 gaat, u\ -f- z\ — t\ eigenlijke raakpunten absorbeert. Dit kan tot 

 het volgende theorema geformuleerd worden: 



Theorema V. Valt een enkel- of meervoudig basispunt van een 

 krommenbundel in den oorsprong S van een tal van den graad t 

 eener algebraïsche kromme C n , terwijl die tak een willekeurig 'e kromme 

 van den bundel in z, de osculeerende kromme van den bundel daar- 

 entegen in u punten S snijdt, dan absorbeert het punt S u ~\- z — t 

 raak punten van krommen van den bundel met C n , ni. a. w. bij een 

 willekeurige standsverandering der in S vallende basispunten geeft 

 het punt S u -\- z — t raakpunten af, die zich dan op den beschouw- 

 den tak bevinden. 



Door echter de basispunten niet een willekeurige maar een bij- 

 zondere standsverandering te doen ondergaan, kan hieruit in verband 

 met theorema IV nog een ander theorema worden afgeleid. Men 

 kan n.1. de basispunten langs de osculeerende kromme van den 

 bundel een weinig zoo verplaatsen, dat er geen basispunt meer met 

 S samenvalt. In dat geval blijft ook na de verplaatsing der basis- 

 punten het punt S een zeker aantal eigenlijke raakpunten absorbeeren, 

 en wel volgens theorema IV ten getale van u — t; immers na die 

 verplaatsing snijdt de door S gaande kromme van den bundel den 

 tak in u punten S, zoodat voor het punt S nu w — u is. Vergelijkt 

 men het aantal u — t der geabsorbeerde raakpunten met het in 

 theorema V opgegeven aantal, dan vindt men : 



Theorema VI. Snijden de krommen van een bundel den tak T 

 eener vlakke algebraïsche kromme in z vaste in zijn oorsprong S val- 

 lende punten, dan geeft het punt S z raakpunten met krommen van 

 den bundel aan den tak T af, als de in S vallende basispunten van 

 den bundel zich langs de osculeerende kromme van den bundel van 

 S verwijderen. 



Het is duidelijk, dat de theorema's V en VI onveranderd blijven 

 doorgaan als de bundel in samenvallende deelen gedegenereerde 

 krommen bevat, mits die slechts niet door het punt >S' gaan. 



Het theorema VI is evenals het theorema IV een uitbreiding van 

 het bovengenoemde theorema van H alphen en Smith. Vervangt men 



