( 271 ) 



Wiskunde. — De Heer Schoüte biedt eene mededeeling aan van 

 den Heer W. A. Verslüys : „Over de betrekking tusschen den 

 kromtestraal eener ruimtekromme in een punt P der kromme 

 en den kromtestraal in P van de doorsnede van haar ontwik- 

 kelbaar regelvlak met haar osculatievlak in punt P" 



(Mede aangeboden door den Heer D. J. Korteweg). 



§ 1. Stelling. Voor iedere ruimte kubiek C* is de verhouding 

 constant van de kromtestraal, in een willekeurig punt P, tot den kromte- 

 straal van de vlakke doorsnede van het osculatievlak in dat punt P 

 met het bij C n behoorende ontiuikkelbaar regelvlak 4 . 



Bewijs. Als" men het punt P neemt tot coördinatenoorsprong en 

 tot coördinaatassen de raaklijn, hoofdnormaal en binormaal der 

 kromme C 8 in het punt P, dan is C 3 de keerkromme van het 

 oppervlak 4 dat omhuld wordt door het vlak 



A f — 3 B t* + 3 C t — ■ D= 0, 

 waarin 



D~ z, 



B=b x si + b t y + b 2 z, 

 A — o, a + a 2 y + a 3 z + a 4 . 

 De coördinaten van de punten der kromme 6' 3 voldoen dus aan 

 de voorwaarden: 



tC — z, t 2 B—z, t* A = z, 



waaruit volgt: 



« 4 &! c 2 f a 4 b A c 2 ^ 



y 



b 1 c 2 —a 1 c x t + (a x & 2 — a 2 £>) £ 2 — a 8 ^ c 2 £ 3 

 a 4 ^ £ 2 a 4 t(c 2 —b 2 t—b s c 2 t 2 ) 



N N 



Nu is de kromtestraal iü van de ruimtekromme C 3 in het punt 

 P, dezelfde als de kromtestraal van haar orthogonale projectie op 

 haar osculatievlak in P, daar de kromme met haar projectie in P 

 drie opeenvolgende punten gemeen heeft. De parameter uitdrukkingen 

 voor de coördinaten dezer projectie zijn : 



a 4 b x t 2 a 4 t(c 2 — b 2 t—b 3 c^t 2 ) 



y 



en 



N N 



dy 

 Uit de waarde van y blijkt, dat — = voor t=Ö; de algemeene 



formule voor den kromtestraal eener vlakke kromme : 



