( 327 ) 



aan veertien enkelvoudige voorwaarden voldoen, rechtstreeks worden 

 bepaald. 



Naar aanleiding van dit onderzoek koos de Heer Toxopeus, toen 

 nog doctorandus in wis- en natuurkunde, de rechtstreeksehe bepaling 

 van de aantallen der kwadratische gebogen ruimten van vier af- 

 metingen, die in de vijfdimensionale ruimte aan twintig enkelvoudige 

 voorwaarden voldoen, tot onderwerp zijner dissertatie; op dit onder- 

 werp promoveerde hij cum laude in December 1900. 



Zooals te verwachten was, bleek bij de samenstelling van dit 

 proefschrift ten duidelijkste, dat het onderzoek voor de ruimte van 

 vijf afmetingen veel moeielijker is dan dat voor de vierdimensionale 

 ruimte. Om slechts een paar voorbeelden te noemen halen we hier 

 aan, dat het aantal 22 der bij de lineaire elementen der ruimte van 

 vier afmetingen in te voeren symbolen voor de vijfdimensionale 

 ruimte tot 58 toeneemt, terwijl het aantal der te bepalen getallen 

 van ruim 8000 tot ruim een half millioen klimt. Bovendien zijn de 

 aantallen in de vierdimensionale ruimte kleiner dan 40.000, terwijl 

 ze in de ruimte van vijf afmetingen dertig millioen overtreffen kun- 

 nen. En met het toenemen van den omvang namen ook de theo- 

 retische moeielijkheden toe. Geen Avonder derhalve, dat het den 

 Heer Toxopeus toegestaan werd zijn dissertatie tot een op zichzelf 

 staanden voorarbeid van zijn onderzoek te beperken, onder den titel 

 ,, Inleiding tot, enz." 



Nu de geheele arbeid na veel cijferens is voltooid en de verlangde 

 aantallen zijn verkregen, is het wenschelijk, dat de volledige uit- 

 komsten zoo beknopt mogelijk worden gepubliceerd. Zij werden 

 daartoe door den schrijver in verkorten vorm opgesteld en bevatten, 

 wat de afleiding aangaat, slechts het allernoodzakelijkste. Toch zal 

 de toelichting, die de groote lijst der uitkomsten voorafgaat, iedereen, 

 die het ScHUBERT'sehe beginsel van het behoud van het aantal weet 

 te hanteeren, in staat stellen desverlangd den weg, die tot de uit- 

 komsten leidde, geheel na te sporen. En dit is, wijl het hoofdzake- 

 lijk om de uitkomsten te doen is, voor het voorgestelde doel voldoende. 



De ondergeteekenden meenen, dat het werk van den Heer Toxo- 

 peus blijk geeft van veel talent en buitengewoon veel volharding, 

 weshalve het de eer in de werken der Akademie opgenomen te 

 worden ten volle verdient. 



Groningen, 22 October 1904. P. H. Schoüte. 



Delft, 28 October 1904. J. Cardinaal. 



23* 



