( 389 ) 



zijne aandacht op een of* ander soort bijzondere punten, plooipunten, 

 ombilikaalpunten, enz. die op een puntalgemeen algebraïsch opper- 

 vlak in eindig getal optreden, dan zal het bij de vervorming voor 

 kunnen komen, dat twee of meer dier bijzondere punten tot samen- 

 vallen geraken. Een zoodanig punt waar dit plaats heeft mag dan 

 een twee- of meervoudig bijzonder punt van die soort worden genoemd. 

 Nu kan zulk samenvallen, zooals de uitkomst leert, meestal op meer 

 dan ééne wijze tot stand komen. Sommige van deze wijzen van 

 samenvallen vereischen slechts de vervulling van ééne enkele betrek- 

 king tusschen de coëfficiënten der Cartesiaansche vergelijking; anderen 

 die van meerdere zulke betrekkingen. De eersten behooren tot de 

 bijzonderheden der eerste orde van uitzondering, de anderen tot die 

 van hoogere orde. Alleen met de eersten houden wij ons in dit 

 opstel bezig. l ). 



Voor plooipunten werden de bijzonderheden der eerste orde die 

 als veelvoudige plooipunten moeten worden opgevat door den eerst- 

 genoemden onderzocht. 3 ) Daarbij werden gevonden twee geheel ver- 

 schillende soorten van dubbelplooipunten (de homogene en de hetero- 

 gene) ; verder bleken de osculatiepunten, drievoudige, de dubbelpunten 

 van het oppervlak, vier- en twintigvoudige plooipunten te zijn. 



Het scheen wenschelijk een dergelijk onderzoek ook voor andere 

 bijzondere punten in te stellen. Dit is nu door ons verricht voor de 

 ombilikaalpunten. De daarbij verkregen resultaten worden hier thans 

 medegedeeld. Voor bewijzen en meer uitvoerige beschouwingen wordt 

 verwezen naar de eerstdaags verschijnende dissertatie van den tweeden 

 genoemden, den heer D. de Lange. 



a. Het dubbel onibiWcaalputit in het eindige. 



2. Plaatst men den oorsprong van een rechthoekig coördinaten- 

 stelsel in een ombilikaalpunt en gebruikt men het raakvlak daar ter 

 plaatse als «i'/y-vlak, dan kan de vergelijking van het oppervlak 

 geschreven worden in den vorm : 



z = o, (a; 2 + if) + d x ** + d^y -f d.èif + d,f + e x ^ + . (1) 

 Door eene kleine vervorming verkrijgt men dan voor het nieuwe 

 oppervlak de vergelijking : 



z = a + ft* + fty + 0l w* + yjcy + (e } -f 7 3 ) f + d^ + d^y (2) 

 alwaar de Grieksche letters kleine grootheden voorstellen, die alle 



1 ) Zie voor de reden waarom deze in de eerste plaats de aandacht verdienen 

 het zooeven aangehaald opstel op p. 287. 



2) D. J. Korteweg, „Ueber Faltenpunkte", Wien. Ber. 98, p. 1154— 1191, (1889) 

 ook Arch. Néerl. M, p. 57—98, (1890). 



27* 



