( 390 ) 



als van dezelfde orde mogen worden beschouwd, namelijk, van die 

 van de kleine verandering die men een denkbeeldigen in de coëffi- 

 ciënten optredenden parameter heeft laten ondergaan. Ook de niet- 

 Grieksche letters moeten geacht worden een weinig veranderd te 

 zijn, welke verandering echter niet ter zake afdoet. 



Berekenen wij nu de ligging van het verplaatste ombilikaalpunt 

 op het vervormde oppervlak met behulp der bekende condities: 



d 2 z è 2 z è 2 z 



eb 2 èx èy dy 2 



... (3) 



1 + 





dz dz (èz 



èx öy \dy 



dan vinden wij, na verwaarloozing van alle termen die klein zijn 

 ten opzichte van degene die behouden worden, de beide eerste- 

 graadsvergelijkingen : 



y 2 + 2 d 2 x + 2d 3 y-0; y 3 + (d 3 - 3^) x + {U-d,) y = ; (4) 



welke in het algemeen zonder bezwaar de gezochte verschuiving 

 doen kennen. 



Anders wordt dit echter wanneer de determinant 



K 



— 3d 1 Sd 4 — d^ 

 d n d 9 



d^ + d^^-3(d 1 d s + d,d 4 ) (5) 



verdwijnt. In dat geval voldoen geene eindige waarden aan de 

 lineaire vergelijkingen (4). Dit bewijst echter alleen dat de verschui- 

 ving van het ombilikaalpunt van lagere orde dan de door Grieksche 

 letters aangeduide grootheden is geworden en dat daarom ook de 

 termen van de tweede orde in x en y in de vergelijkingen (4) moeten 

 worden opgenomen. Doet men dit dan verkrijgt men door de beide 

 nieuwe vergelijkingen met elkander te verrekenen, na verdrijving 

 der eerste graads termen, de nieuwe vergelijking : 



( ^_3^Jy 2 -2^y 3 + [12^ 1 + 3(^-3J> 2 -2^ 3 -8c 1 ^ 2 > 2 + 



-12^ + S^J^O (6) 



welke met een der vergelijkingen (4) moet worden gecombineerd. 

 Deze verg. (6) is van den tweeden graad in x en y waaruit der- 

 halve volgt l e dat de verschuiving wordt van de orde 1 / 2 ten op- 

 zichte van die der Grieksche letters in (2) gebezigd, 2 e dat het 

 ombilikaalpunt dat aanvankelijk in den oorsprong van het coördi- 

 natenstelsel op het oppervlak (1) gelegen was, zich bij de vervor- 

 ming van dit oppervlak in tweeën heeft gesplitst, welke beide ombili- 

 kaalpunten in het algemeen bij eene wijziging van den parameter 



