( 391 ) 



in de eene richting, bestaanbaar, in de andere richting, onbestaanbaar 

 uiteengaan. Wij hebben derhalve met een dnbbel-ombilikaalpunt te 

 doen en wel met een zoodanig bij welks effectief l ) optreden over- 

 gang van het bestaanbare naar het onbestaanbare geschied. 



3. Alvorens nu de verdere bijzonderheden van dit dubbel-ombilikaal- 

 punt na te gaan, willen wij opmerken dat de voorwaarde K t = 

 reeds als een gewichtig kenteeken bekend Avas. Zij karakteriseert 

 namelijk het overgangsgeval tusschen twee der drie algemeene soorten 

 van ombilikaalpunten, welke het eerst door Darboux onderscheiden 

 zijn 2 ) naar de wijze waarop de kromtelijnen zich in hunne nabij- 

 heid gedragen. 



Bij de eerste soort, afgebeeld in Fig. 1, verlaten het ombilikaal- 

 pnnt in drie verschillende richtingen kromtelijnen, die wij door rechten 



Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. 



hebben voorgesteld omdat hunne kromming van de termen van 

 hoogere orde der verg. (1), te beginnen met die der vierde, afhangt, 

 en wel in elke richting ééne enkele. Die drie richtingen hebben de 

 eigenschap niet in één kwadraat te kunnen worden afgebeeld, cI.av.z. 

 ieder van hen ligt binnen den stompen hoek door de beide overigen 

 gevormd. Voor deze soort is K x ^> 3 ). 



Bij de tweede soort, zie Fig. 2, vertrekken er evenzeer uit het 

 ombilikaalpunt kromtelijnen in drie verschillende richtingen, deze 

 richtingen zijn echter zoodanig dat ééne er van binnen den scherpen 

 hoek valt gevormd door de beide anderen, zoodat alle drie thans in 

 één kwadrant kunnen worden bevat. Bovendien vertrekken er thans 

 in de eerstvermelde richting, die men de middelste zoude kunnen 

 noemen, oneindig vele kromtelijnen waarvan er vijf, de rechte mede- 

 geteld, in Fig. 2 zijn aangegeven. Voor deze soort is K x <C 0. 



l ) Zie omtrent de beteekenis van dezen term p. 289 het in noot C) aangehaalde 

 opstel. 



-) G. Darboux. Lecons sur la theorie générale des surfaces. Quatriême partie. 

 Gauthier— Villars, 1896, p. 448—465. 



3 ) Dit kenmerk K Y > beteekent bovendien, zooals in de dissertatie op een- 

 voudige wijze bewezen wordt, dat de kromtelijnen in de nabijheid van overal 

 hunne bolle zijde naar het ombilikaalpunt keeren. Voor K x < daarentegen de 

 holle zijde. 



