( 392 ) 



Bij de derde soort, zie Fig. 3, vertrekt er uit liet ombilikaalpunt 

 slechts ééne enkele kroratelijn, de rechte van Fig. 3. De beide andere 

 richtingen van Vertrek zijn onbestaanbaar geworden. Ook voor deze 

 soort is K l <^ 0. Om ze analytisch van de vorige te onderscheiden 

 kan gelet worden op het teeken van den discriminant van de derde- 

 maehtsverg. : 



d z n* + (2d 2 — Sd 4 ) n 2 + (M 1 — 2cl z ) n — d 2 = . . . (7) 



welke blijkt te dienen ter bepaling der drie richtingen van vertrek. 

 Noemt: men dien discriminant K 2 , zoodanig gekozen dat voor K 2 ^> 

 de drie wortels reëel zijn, dan heeft men dus voor de eerste soort 

 K x ^> 0, K 2 ^> 0, voor de tweede K x <^ 0, K 2 > 0, voor de derde 

 K x <^ 0, 7v 2 <^ 0. Een vierde soort K x ^> 0, K 2 <^ bestaat niet, 

 omdat, zooals ook langs algebraïschen weg wordt aangetoond, K x ^> 

 van zelf "K % ^> met zich medebrengt. 



4. Zooals uit deze uiteenzetting blijkt, vormt het dubbel ombilikaal- 

 puni het overgangsgeval tusschen de eerste en tweede soort, voor 

 welk overgangsgeval noodzakelijk K x == 0, K x > 0. De loop der 

 kromtelijnen wordt daarbij zeer eenvoudig zoolang men zich tot 

 dezelfde benadering bepaalt die gevoerd heeft tot de figuren 1, 2 

 en 3. Uit de differentiaalvergelijking : 



'di/ 



H! 



+ [(,!, - 3^) a . + (3rf 4 -^)2/]'J = . (8) 



dm 



welke ter bepaling der kromtelijnen dient, splitst zich namelijk de 

 factor d 2 .v -f- d z y af, welke gelijk nul gesteld eene rechte voorstelt, 

 terwijl het overblijvende twee onderling loodrechte bundels van even- 

 wijdige lijnen oplevert, Op deze wijze zouden echter van elk punt 

 der eerstgenoemde rechte drie kromtelijnen vertrekken zoodat een 

 O'eheele lijn van ombilikaalpnnten aanwezig zoude zijn. Dit is natuur- 

 lijk niet het geval in het algemeen, zoodat deze voorstelling der 

 kromtelijnen eene aanzienlijke wijziging zal moeten ondergaan zoodra 

 de termen van hoogere orde in aanmerking genomen worden. Wij 

 komen daarop spoedig nog even terug. 



5. Vooraf deelen wij de uitkomsten mede eener nauwkeuriger 

 beschouwing der vervorming van het dubbel ombilikaalpunt, Daaruit 

 is ons namelijk gebleken 1°. dat bij een parameterverandering in den 

 zin waarbij de beide enkelvoudige ombilikaalpunten bestaanbaar uit- 

 eengaan, dit uiteengaan steeds geschieden zal in de richting der 

 zooeven beschouwde rechte d 2 x -\ d s y == 0, welke daarna voorieder 

 der beide uiteengedreven ombilikaalpunten eene zijner richtingen van 

 vertrek bij eerste benadering voorstelt, 2°. dat deze uiteengedreven 

 ombilikaalpunten steeds van verschillend soort zijn, namelijk het 



