( 393 ) 



ééne van de eerste, liet andere Aan de tweede soort. Daarbij geeft 

 dan, voor dat van de tweede soort, d 2 ,v -\- d s y = de middelste rich- 

 ting van vertrek aan, terwijl ook de overige richtingen van vertrek 

 der niteengegane ombilikaalpnnten telkens nagenoeg overeenstemmen 

 met de richtingen van vertrek van het oorspronkelijke dubbel ombi- 

 likaalpnnt welke in § 4 besproken zijn. 



Dit alles vastgesteld zijnde schijnt het niet moeilijk te gissen 

 hoedanig de loop der kromtelijnen in hoofdzaak moet worden kort 

 na de uiteendrijving van het dnbbelombilikaalpnnt. 



Fie. 4. 



Fig. 5. 



Fig. 6. 



Die loop wordt voorgesteld in Fig. 4; alwaar O l het ombilikaal- 

 punt der eerste, 2 der tweede soort aanwijst. Bij O l is cle hoek 

 der beide andere uit het ombilikaalpunt vertrekkende kromtelijnen 

 tusschen welke 1 2 valt iets grooter dan een rechte, bij 2 

 daarentegen iets kleiner. 



Laat men daarna de beide ombilikaalpnnten weder inéénvloeien 

 dan ontmoeten zij elkander ongeveer op den halven afstand en de 

 nu ontstaande figuur bij welke de kromtelijnen op eenigen afstand 

 links en rechts van de punten 1 en () 2 gelegen in hoofdzaak hetzelfde 

 beloop moeten behouden hebben kan moeilijk eene andere zijn dan 

 de in Fig. 5 aangegevene l ) afgezien van cle symmetrie die in het 



l ) Toch ware een nader onderzoek langs anderen weg op dit punt niet ongewenscht. 

 Het zou moeten bestaan in eene stelselmatige studie, liefst over hun geheele 

 beloop, der lijnen voldoende aan de differentiaalvergelijking: 



\[2d,y + Bij + He s - 2 Cl >.„ + 3e t f] + 



1 — 



+ ^[6^ + 2^ 



6e, + 4, V > 2 + Gie-e^y + 2(6 e -?-4 Cl 3 )f] = 0. 



Dit toch is de vorm welke de differentiaalvergelijking der kromtelijnen in de 

 nabijheid van een dubbel-ombilikaalpunt bij tweede benadering aanneemt, wanneer 

 men de X-as plaatst in de richting waarin de beide enkelvoudige ombilikaalpunten 

 door eene geringe vervorming van het oppervlak uiteengaan. Men heeft dan 

 namelijk tl 2 = en cZ 3 = M Y ; dit laatste wegens (5), 



